Usando a definição de integral de superfície de campos de vetores, calcule o fluxo do campo F ao longo da superficie S em cada item abaixo:
F(x, y, z)=(x, y,-2 z) e S é a esfera de centro na origem e raio 2, com vetor normal apontando para fora de S;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaSFcdot n,dS
do campo vetorial
F(x,y,z)=(x,y,-2z)
através da superfície S que é a esfera de raio 2 centrada na origem, com normal apontando para fora.
O conteúdo aqui é integral de superfície de campo vetorial, que faremos por parametrização esférica.

Passo 2

Escolhemos coordenadas esféricas para parametrizar S:
r(theta,phi) = l(2sinthetacosphi,;2sinthetasinphi,;2costhetar),
com thetain[0,pi] e phiin[0,2pi].
Então calculamos
rtheta=partial rpartialtheta
e
rphi=partial rpartialphi.

Passo 3

Um cálculo direto dá
rtheta times rphi =4sintheta;l(sinthetacosphi,;sinthetasinphi,;costhetar)
Este vetor aponta para fora e seu módulo é
|rthetatimes rphi|=4sintheta.

Passo 4

Expressamos F na parametrização:
Fl(r(theta,phi)r) =l(2sinthetacosphi,;2sinthetasinphi,;-4costhetar)
Então o produto escalar é
Fl(r(theta,phi)r)cdotl(rthetatimes rphir) =4sinthetal(2sin^2theta -4cos^2thetar) =8sin^3theta -16sinthetacos^2theta

Passo 5

O fluxo é
integral duplaSFcdot n,dS =integral0^2pi!!integral0^pi l(8sin^3theta -16sinthetacos^2thetar),dtheta,dphi
Como os integrandos em theta são
integral0^pisin^3theta,dtheta=tfrac43
e
integral0^pisinthetacos^2theta,dtheta=tfrac23,
temos
integral0^pil(8sin^3theta -16sinthetacos^2thetar)dtheta =8cdottfrac43-16cdottfrac23=0
Multiplicando por integral0^2pidphi=2pi continua zero.

Resposta

O fluxo de F através de S é ;0.

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