Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
Passo 1
Na questão precisamos encontrar os extremos absolutos da função
no disco unitário
. Conteúdo: cálculo de extremos em funções de duas variáveis, usando pontos críticos e análise de contorno.
Passo 2
Como
é contínua em
(conjunto compacto), os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos internos ou na fronteira. Primeiro identificamos os pontos críticos internos resolvendo
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero, vemos que
e
, logo o único ponto crítico interno é
. Avaliando, temos
.
Passo 4
Agora analisamos a fronteira
. Parametrizamos por
,
e definimos
Derivando em relação a
:
Resolvendo
temos três casos:
Passo 5
(i)
→
.
Passo 6
(ii)
→
.
Passo 7
(iii)
→ usando
obtemos
, com raiz viável
→
.
Passo 8
Agora avaliamos
nesses pontos:
Passo 9
-
: , .
Passo 10
-
: , .
Passo 11
-
: , .
Passo 12
-
: , .
Passo 13
Comparamos esses valores e o do ponto interno:
e
é o menor.
Resposta
O valor máximo absoluto é
em
e o valor mínimo absoluto é
em
.