Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
f(x, y)=2 x^3+y^4, D=(x, y) mid x^2+y^2 <= 1

Passo 1

Na questão precisamos encontrar os extremos absolutos da função f(x,y)=2x^3+y^4 no disco unitário D=(x,y)mid x^2+y^2<=1. Conteúdo: cálculo de extremos em funções de duas variáveis, usando pontos críticos e análise de contorno.

Passo 2

Como f é contínua em D (conjunto compacto), os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos internos ou na fronteira. Primeiro identificamos os pontos críticos internos resolvendo nabla f=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=6x^2, partial fpartial y=4y^3
Igualando a zero, vemos que x=0 e y=0, logo o único ponto crítico interno é (0,0). Avaliando, temos f(0,0)=0.

Passo 4

Agora analisamos a fronteira x^2+y^2=1. Parametrizamos por x=cos t, y=sin t e definimos
g(t)=f(cos t,sin t)=2cos^3t+sin^4t, tin[0,2pi]
Derivando em relação a t:
g'(t)=-6cos^2tsin t+4sin^3tcos t=cos tsin tl(-6cos t+4sin^2tr)
Resolvendo g'(t)=0 temos três casos:

Passo 5

(i) cos t=0 t=tfracpi2,tfrac3pi2.

Passo 6

(ii) sin t=0 t=0,pi.

Passo 7

(iii) -6cos t+4sin^2t=0 → usando sin^2t=1-cos^2t obtemos 4cos^2t+6cos t-4=0, com raiz viável cos t=tfrac12 t=tfracpi3,tfrac5pi3.

Passo 8

Agora avaliamos f nesses pontos:

Passo 9

  • t=0: (1,0), f=2.

Passo 10

  • t=pi: (-1,0), f=-2.

Passo 11

  • t=pi/2,3pi/2: (0,pm1), f=1.

Passo 12

  • t=pi/3,5pi/3: (tfrac12,pmtfracraiz32), f=tfrac1316.

Passo 13

Comparamos esses valores e o do ponto interno: 0<tfrac1316<1<2 e -2 é o menor.

Resposta

O valor máximo absoluto é 2 em (1,0) e o valor mínimo absoluto é -2 em (-1,0).

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