Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
lim substackx 0 y 0 x sen(1x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,0)xsinl(tfrac1x^2+y^2r)
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto).

Passo 2

Sabemos que, para todo tinR,
-1 <= sin(t)<= 1
Em particular vale para t=tfrac1x^2+y^2.

Passo 3

Multiplicando a desigualdade por x e considerando valor absoluto, concluímos
-lvert xrvert <= xsinl(tfrac1x^2+y^2r)<= lvert xrvert,
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llvert xsinl(tfrac1x^2+y^2r)rrvert <= lvert xrvert

Passo 4

Quando (x,y)to(0,0), temos lvert xrvertto 0. Portanto, o valor de xsin(1/(x^2+y^2)) fica “apertado” entre -lvert xrvert e lvert xrvert, ambos tendendo a zero.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, segue que
lim(x,y)to(0,0)xsinl(tfrac1x^2+y^2r)=0

Resposta

0

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