Usando a definição de integral de superfície de campos de vetores, calcule o fluxo do campo F ao longo da superficie S em cada item abaixo:
F(x, y, z)=(y, z, x z), sendo S a fronteira do sólido W, onde W=(x, y, z) mid x^2+y^2 <= z 1, com vetor normal apontando para fora de S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(y,z,xz) através de S=partial W, onde
W = (x,y,z)mid x^2+y^2 <= z <= 1,
com normal externa. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que converte o cálculo de fluxo numa integral tripla do divergente de F sobre W.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSFcdotn,dS = integral triplaWnablacdotF,dV

Passo 3

Calculamos o divergente de F:
nablacdotF =partialpartial x(y) +partialpartial y(z) +partialpartial z(xz) =0+0+x =x

Passo 4

Assim o fluxo é
integral triplaWx,dV
Em coordenadas cilíndricas, x=rcostheta e dV=r,dr,dtheta,dz. O domínio W é dado por
0<=theta<=2pi, 0<= r<=1, r^2<= z<=1
Logo
integral triplaWx,dV =integral0^2pi!integral0^1!integralr^2^1 (rcostheta),r,dz,dr,dtheta =integral0^2picostheta,dtheta integral0^1r^2(1-r^2),dr
Mas
integral0^2picostheta,dtheta=0,
logo todo o fluxo vale zero.

Resposta

O fluxo de F através de S é 0.

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