Calcule
, onde
é o sólido limitado pela esfera centrada na origem de raio 4 e os cones
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla
, onde
é o sólido limitado por uma esfera de raio 4 centrada na origem e por dois cones:
e
.
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são perfeitas para trabalhar com esferas e cones. A gente vai precisar lembrar das fórmulas para converter as coordenadas cartesianas
para esféricas
e também da expressão do elemento de volume nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar como são as coordenadas esféricas:
-
é a distância da origem até o ponto. -
é o ângulo no plano (similar ao ângulo polar). -
é o ângulo entre o eixo positivo e o raio que vai até o ponto.
As coordenadas cartesianas se relacionam com as esféricas por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos entender os limites de integração para
,
e
.
- A esfera tem raio 4, então
vai de 0 até 4. - O ângulo
cobre a circunferência completa, então vai de até . - Os cones determinam os limites para
. Precisamos encontrar os ângulos correspondentes a cada cone.
Vamos reescrever as equações dos cones em termos de coordenadas esféricas.
Passo 4
Considerando
:
Substituindo
e
:
Para o outro cone,
:
Então,
varia entre
e
.
Passo 5
Agora que temos os limites de integração, podemos reescrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
Aqui, usamos que
, então a função dentro da integral fica
.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integremos em relação a
:
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
, ou seja,
. Assim:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Como
é uma constante, podemos fatorar:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 9
Agora, a integral fica:
Calculando a última integral:
Passo 10
Finalmente, multiplicamos tudo:
Resposta
O valor da integral tripla é
.