Calcule integralegral triplaW e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d x d y d z, onde W é o sólido limitado pela esfera centrada na origem de raio 4 e os cones z=raiz3(x^2+y^2) e z=raizx^2+y^23.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla integral triplaW e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d x d y d z, onde W é o sólido limitado por uma esfera de raio 4 centrada na origem e por dois cones: z=raiz3(x^2+y^2) e z=raizx^2+y^23.
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são perfeitas para trabalhar com esferas e cones. A gente vai precisar lembrar das fórmulas para converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (rho, theta, phi) e também da expressão do elemento de volume nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar como são as coordenadas esféricas:
  • rho é a distância da origem até o ponto.
  • theta é o ângulo no plano xy (similar ao ângulo polar).
  • phi é o ângulo entre o eixo positivo z e o raio que vai até o ponto.
As coordenadas cartesianas se relacionam com as esféricas por:
x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos entender os limites de integração para rho, phi e theta.
  • A esfera tem raio 4, então rho vai de 0 até 4.
  • O ângulo theta cobre a circunferência completa, então vai de 0 até 2pi.
  • Os cones determinam os limites para phi. Precisamos encontrar os ângulos correspondentes a cada cone.
Vamos reescrever as equações dos cones em termos de coordenadas esféricas.

Passo 4

Considerando z = raiz3(x^2 + y^2):
Substituindo z = rho cosphi e x^2 + y^2 = rho^2 sin^2phi:
rho cosphi = raiz3 rho sinphi
cosphi = raiz3 sinphi
tanphi = 1raiz3 Rightarrow phi = pi6
Para o outro cone, z = raizx^2 + y^23:
rho cosphi = raizrho^2 sin^2phi3
cosphi = sinphiraiz3
tanphi = raiz3 Rightarrow phi = pi3
Então, phi varia entre pi6 e pi3.

Passo 5

Agora que temos os limites de integração, podemos reescrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaW e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d x d y d z = integral0^2pi integralpi6^pi3 integral0^4 e^rho^3 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Aqui, usamos que x^2 + y^2 + z^2 = rho^2, então a função dentro da integral fica e^(rho^2)^3/2 = e^rho^3.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integremos em relação a rho:
integral0^4 e^rho^3 rho^2 drho
Fazendo uma substituição simples, deixe u = rho^3, então du = 3rho^2 drho, ou seja, rho^2 drho = du3. Assim:
integral0^4 e^rho^3 rho^2 drho = 13 integral0^64 e^u du = 13 [ e^u ]0^64 = 13 ( e^64 - 1 )

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integralpi6^pi3 13 ( e^64 - 1 ) sinphi , dphi , dtheta
Como 13 ( e^64 - 1 ) é uma constante, podemos fatorar:
13 ( e^64 - 1 ) integral0^2pi integralpi6^pi3 sinphi , dphi , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a phi:
integralpi6^pi3 sinphi , dphi = [ -cosphi ]pi6^pi3 = -cos(pi3) + cos(pi6) = -12 + raiz32 = raiz3 - 12

Passo 9

Agora, a integral fica:
13 ( e^64 - 1 ) integral0^2pi raiz3 - 12 , dtheta = 13 ( e^64 - 1 ) cdot raiz3 - 12 cdot integral0^2pi dtheta
Calculando a última integral:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 10

Finalmente, multiplicamos tudo:
13 ( e^64 - 1 ) cdot raiz3 - 12 cdot 2pi = 13 ( e^64 - 1 ) (raiz3 - 1) pi

Resposta

O valor da integral tripla é 13 ( e^64 - 1 ) (raiz3 - 1) pi.

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