Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que estamos fazendo aqui é calcular um limite de uma função de duas variáveis, especificamente quando
e
estão se aproximando de zero. Para isso, vamos precisar entender como limites funcionam em várias dimensões e ver se conseguimos determinar qual valor a expressão tende quando nos aproximamos do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis. Quando a gente tem uma função
e queremos calcular o limite quando
se aproxima de um ponto, como
, estamos tentando descobrir qual valor a função se aproxima à medida que
e
ficam cada vez mais próximos desse ponto.
Passo 3
No nosso caso, a função é:
Para ver se o limite existe, vamos testar alguns caminhos diferentes pelos quais
pode se aproximar de
. Se obtivermos valores diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não existe.
Passo 4
Vamos começar com o caminho onde
. Nesse caso, a função fica:
- Se
se aproxima de pela direita ( ), então . - Se
se aproxima de pela esquerda ( ), então .
Assim, dependendo de como
se aproxima de
, o limite pode ser
ou
.
Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, onde
. Substituindo na função:
- Se
se aproxima de pela direita ( ), então , logo . - Se
se aproxima de pela esquerda ( ), então , logo .
Passo 5
Observamos que, dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
, o limite assume valores diferentes:
- Pelo caminho
, o limite pode ser ou . - Pelo caminho
, o limite pode ser ou .
Como esses valores não são todos iguais, concluímos que o limite não existe de maneira geral.
Resposta
O limite não existe.