Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
lim substackx 0 y 0 xraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que estamos fazendo aqui é calcular um limite de uma função de duas variáveis, especificamente quando x e y estão se aproximando de zero. Para isso, vamos precisar entender como limites funcionam em várias dimensões e ver se conseguimos determinar qual valor a expressão tende quando nos aproximamos do ponto (0, 0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis. Quando a gente tem uma função f(x, y) e queremos calcular o limite quando (x, y) se aproxima de um ponto, como (0, 0), estamos tentando descobrir qual valor a função se aproxima à medida que x e y ficam cada vez mais próximos desse ponto.

Passo 3

No nosso caso, a função é:
f(x, y) = xraizx^2 + y^2
Para ver se o limite existe, vamos testar alguns caminhos diferentes pelos quais (x, y) pode se aproximar de (0, 0) . Se obtivermos valores diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não existe.

Passo 4

Vamos começar com o caminho onde y = 0 . Nesse caso, a função fica:
f(x, 0) = xraizx^2 + 0^2 = x|x|
  • Se x se aproxima de 0 pela direita ( x > 0 ), então x|x| = 1 .
  • Se x se aproxima de 0 pela esquerda ( x < 0 ), então x|x| = -1 .
Assim, dependendo de como x se aproxima de 0 , o limite pode ser 1 ou -1 .
Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, onde y = x . Substituindo na função:
f(x, x) = xraizx^2 + x^2 = xraiz2x^2 = x|x|raiz2
  • Se x se aproxima de 0 pela direita ( x > 0 ), então x|x| = 1 , logo f(x, x) = 1raiz2 .
  • Se x se aproxima de 0 pela esquerda ( x < 0 ), então x|x| = -1 , logo f(x, x) = -1raiz2 .

Passo 5

Observamos que, dependendo do caminho escolhido para se aproximar de (0, 0) , o limite assume valores diferentes:
  • Pelo caminho y = 0 , o limite pode ser 1 ou -1 .
  • Pelo caminho y = x , o limite pode ser 1raiz2 ou -1raiz2 .
Como esses valores não são todos iguais, concluímos que o limite não existe de maneira geral.

Resposta

O limite não existe.

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