lim x 0 1-raizcos xx^2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto01-raizcos xx^2
Estamos diante de uma forma indeterminada 0/0, pois para xto0 temos cos xto1 e, portanto, raizcos xto1. Para resolver usamos a expansão em série de Taylor de cos x e depois a expansão de raiz1+u.

Passo 2

Começamos pela expansão de Taylor de cos x até a ordem x^4:
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)

Passo 3

Definimos u = cos x - 1, ou seja
u = -x^22 + x^424 + O(x^6)
Queremos agora expandir raizcos x = raiz1+u. Sabemos que, para |u|ll1,
raiz1+u = 1 + u2 - u^28 + O(u^3)

Passo 4

Substituindo u na expansão de raiz1+u:
raizcos x =1 + 12l(-tfracx^22 + tfracx^424r) - 18l(-tfracx^22r)^2 + O(x^6)
Calculando termo a termo:
12l(-tfracx^22r) = -x^24, 12cdotx^424 = x^448, l(-tfracx^22r)^2 = x^44, - 18cdotx^44 = -x^432
Somando essas parcelas:
raizcos x = 1 - x^24 + l(148-132r)x^4 + O(x^6) = 1 - x^24 + O(x^4)

Passo 5

Logo
1 - raizcos x = 1 - l(1 - x^24 + O(x^4)r) = x^24 + O(x^4)
Dividindo por x^2 temos
1-raizcos xx^2 = 14 + O(x^2)

Resposta

14

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