lim x infty(x^2-1x^2)^x-1x+1;

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinftyl(x^2-1x^2r)^x-1x+1
Isso é uma forma do tipo “base to 1” e “expoente to 1”, ou seja, indeterminação 1^1. Vamos usar o truque de tomar o logaritmo natural para converter em produto.

Passo 2

Seja
f(x)=l(x^2-1x^2r)^x-1x+1
Então
ln f(x)=x-1x+1,lnl(1-tfrac1x^2r)
Nosso objetivo é achar limxtoinftyln f(x) e depois exponenciar.

Passo 3

Para xtoinfty temos as expansões em série:
lnl(1-tfrac1x^2r)=-1x^2+Ol(tfrac1x^4r),
x-1x+1=1-2x+1=1-2x+Ol(tfrac1x^2r)

Passo 4

Multiplicando as expansões,
x-1x+1,lnl(1-tfrac1x^2r) =l(1-tfrac2x+O(tfrac1x^2)r)l(-tfrac1x^2+O(tfrac1x^4)r) =-1x^2+Ol(tfrac1x^3r)
Logo ln f(x)to0 quando xtoinfty.

Passo 5

Como ln f(x)to0, segue que
f(x)=e^ln f(x)to e^0=1

Resposta

1

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