Considere a equação diferencial 2 y^2+2 yx+(2 x y+2+yx) y^prime=0.
Mostre que mu(x)=x é um fator integrante desta equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2y^2 + 2yx + l(2xy + 2 + tfracyxr),y' = 0
Isso é da forma
M(x,y) + N(x,y),y' = 0,
onde
M(x,y) = 2y^2 + 2yx, N(x,y) = 2xy + 2 + yx
Queremos mostrar que existe um fator integrante mu que dependa apenas de x, e que esse fator seja mu(x)=x.

Passo 2

Para uma equação M,dx + N,dy=0 um fator integrante mu(x) satisfaz
partialpartial yl[mu(x)M(x,y)r] = partialpartial xl[mu(x)N(x,y)r]
Uma forma prática é verificar se
partial Mpartial y - partial Npartial xN
é função apenas de x. Se for, digamos f(x), então
mu(x) = expl(integral f(x),dxr)

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(2y^2 + tfrac2yxr) = 4y + 2x,
partial Npartial x = partialpartial xl(2xy + 2 + tfracyxr) = 2y + 0 - yx^2 = 2y - yx^2
Portanto,
partial Mpartial y - partial Npartial x = l(4y + tfrac2xr) - l(2y - tfracyx^2r) = 2y + 2x + yx^2

Passo 4

Agora dividimos pelo N(x,y):
N(x,y) = 2xy + 2 + yx = 2x^2y + 2x + yx
Então
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 2y + 2x + yx^2 2x^2y + 2x + yx = 2yx^2 + 2x + yx^2 2x^2y + 2x + yx = 2x^2y + 2x + yx^2cdotx2x^2y + 2x + y = 1x
Como deu apenas função de x, f(x)=1/x.

Passo 5

Logo o fator integrante depende só de x e é
mu(x) = expl(integral tfrac1x,dxr) = exp(ln|x|) = x

Resposta

O fator integrante da equação é mu(x)=x.

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