Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore gráficos das mesmas:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 \operatorname{te}^{2 \mathrm{t}} ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogenea com condições iniciais:
y''-2y'-3y=3te^{2t},
com
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que se pede:
  • encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais;
  • elaborar (descrever) o gráfico da solução.
Anotações das informações relevantes que temos:
\text{E.D.O.: }y''-2y'-3y=3te^{2t},
\text{CI: }y(0)=1,\quad y'(0)=0,
e o termo forçante (lado direito) é 3t e^{2t}.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y''-2y'-3y=0.
Explicando a técnica (característica): para equações lineares com coeficientes constantes tentamos y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em r:
r^2-2r-3=0.
Resolvendo essa quadrática:
r^2-2r-3=(r-3)(r+1),
logo as raízes são r=3 e r=-1. Isso significa que a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias a determinar com as condições iniciais.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) da equação completa
y''-2y'-3y=3te^{2t}.
Explicando a ideia do método dos coeficientes a determinar: quando o termo não-homogêneo é da forma (polinômio em t) vezes e^{\alpha t}, tentamos um y_p que tenha a mesma forma (um polinômio de mesmo grau vezes e^{\alpha t}), multiplicado por t^s se houver ressonância (isto é, se \alpha for raiz da equação característica). Aqui o termo é 3t e^{2t}: polinômio de grau 1 vezes e^{2t}. Como r=2 NÃO é raiz da característica (as raízes foram 3 e -1), não há ressonância, então tentamos:
y_p(t)=e^{2t}(A t + B),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos y_p' e y_p'' passo a passo (faça essas contas devagar na prova):
Defina u(t)=A t + B. Então y_p=e^{2t}u(t).
Usando a regra do produto,
y_p' = 2e^{2t}u(t) + e^{2t}u'(t) = e^{2t}\big(2u + u'\big).
Como u'(t)=A, obtemos
y_p' = e^{2t}\big(2(At+B) + A\big) = e^{2t}\big((2A)t + (2B + A)\big).
Agora a segunda derivada:
y_p'' = 2e^{2t}\big((2A)t + (2B + A)\big) + e^{2t}\cdot(2A)
porque derivada do parêntese (2A)t + (2B + A) é 2A. Assim
y_p'' = e^{2t}\big(4A t + 4(A+B)\big).

Passo 5

Substituímos y_p, y_p', y_p'' na equação diferencial e igualamos ao lado direito:
y_p''-2y_p'-3y_p = e^{2t}\big(4A t + 4(A+B)\big) -2e^{2t}\big((2A)t + (2B + A)\big) -3e^{2t}(At+B).
Fatorando e^{2t} e coletando termos em t e termos constantes:
y_p''-2y_p'-3y_p = e^{2t}\big((-3A)t + (2A-3B)\big).
Queremos isso igual a 3t e^{2t}, ou seja
e^{2t}\big((-3A)t + (2A-3B)\big) = e^{2t}\big(3t + 0\big).
Comparando coeficientes do polinômio em t (porque e^{2t} é comum):
  • coeficiente de t: -3A = 3 A=-1.
  • termo constante: 2A-3B=0. Com A=-1 temos 2(-1)-3B=0 -2-3B=0 B=-\tfrac{2}{3}.
Portanto a solução particular é
y_p(t) = e^{2t}\big(-t - \tfrac{2}{3}\big) = -e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big).

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t} - e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big).
Agora usamos as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
Primeiro y(0)=1. Avaliando em t=0:
y(0)=C_1 + C_2 - \Big(0+\tfrac{2}{3}\Big) = C_1 + C_2 - \tfrac{2}{3} = 1.
Logo
C_1 + C_2 = 1 + \tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3}.
Agora precisamos de y'(t). Derivando a expressão geral (vamos derivar termo a termo):
\frac{d}{dt}\big(C_1 e^{3t}\big)=3C_1 e^{3t},\qquad \frac{d}{dt}\big(C_2 e^{-t}\big)=-C_2 e^{-t}.
Já derivamos o particular antes em detalhe; com A=-1, B=-\tfrac{2}{3} obtemos (veja cálculo do Passo 4 com as constantes já substituídas)
\frac{d}{dt}\Big(-e^{2t}(t+\tfrac{2}{3})\Big) = -e^{2t}\Big(2t+\tfrac{7}{3}\Big).
Portanto
y'(t)=3C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - e^{2t}\Big(2t+\tfrac{7}{3}\Big).
Usando y'(0)=0:
y'(0)=3C_1 - C_2 - \tfrac{7}{3} = 0,
logo
3C_1 - C_2 = \tfrac{7}{3}.

Passo 7

Resolvendo o sistema linear
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac{5}{3},\\[4pt] 3C_1 - C_2 = \tfrac{7}{3}, \end{cases}
somando as duas equações obtemos 4C_1 = \tfrac{12}{3} =4, então C_1=1. Substituindo em C_1 + C_2 = \tfrac{5}{3} C_2=\tfrac{5}{3}-1=\tfrac{2}{3}.
Assim a solução particular com constantes ajustadas é
y(t)= e^{3t} + \tfrac{2}{3}e^{-t} - e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big).]

Passo 8

Vamos interpretar e descrever o gráfico (como esboçar na prova ou usar um software):
  1. Valores iniciais e curvatura em t=0:
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Podemos obter y''(0) diretamente da E.D.O.: \,y''(0)=2y'(0)+3y(0)+3\cdot 0\cdot e^{0}=0+3\cdot1+0=3. Então no ponto t=0 a curva tem mínimo/suavemente côncava para cima (curvatura positiva) e saída horizontal (slope zero).
  1. Comportamento para t\to +\infty:
  • e^{3t} cresce mais rápido que e^{2t}t, então o termo e^{3t} domina. Logo y(t)\sim e^{3t} para t\to+\infty: grande e positivo.
  1. Comportamento para t\to -\infty:
  • e^{-t} explode quando t\to -\infty, enquanto e^{3t}\to 0 e os termos com e^{2t} vão para 0. Assim y(t)\sim \tfrac{2}{3}e^{-t} quando t\to -\infty: cresce exponencialmente à esquerda. Portanto a solução também é grande e positiva para t muito negativo.
  1. Esboço prático:
  • Marque o ponto (0,1) com tangente horizontal.
  • Para t>0 a solução inicialmente sobe (curvatura positiva) e, à medida que t cresce bastante, cresce muito rapidamente por causa de e^{3t}.
  • Para t<0 a solução também cresce rapidamente ao ir para a esquerda por causa de e^{-t}.
  • Entre esquerda'' e direita’’ a solução pode apresentar um vale ou uma ondulação dependendo do balanço entre termos, mas os dados acima já permitem um esboço qualitativo correto.
  • Se quiser um gráfico preciso: avalie numericamente y(t) em uma grade (por exemplo t=-3,-2,-1,0,1,2,3) e ligue os pontos suavemente; ou insira a fórmula em software (Desmos, GeoGebra, Python/matplotlib) para plotar.
Observação motivadora: embora a expressão pareça um pouco longa, ela é explicitamente formada por combinações de exponenciais e um termo do tipo t e^{2t} — então qualquer software de plotagem ou uma tabela de pontos vai desenhar isso facilmente.

Resposta

y(t)= e^{3t}+\tfrac{2}{3}e^{-t}-e^{2t}\Big(t+\tfrac{2}{3}\Big).

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