Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore gráficos das mesmas:
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogenea com condições iniciais:
com
O que se pede:
- encontrar a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais; - elaborar (descrever) o gráfico da solução.
Anotações das informações relevantes que temos:
e o termo forçante (lado direito) é
.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Explicando a técnica (característica): para equações lineares com coeficientes constantes tentamos
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em
:
Resolvendo essa quadrática:
logo as raízes são
e
. Isso significa que a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar com as condições iniciais.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Explicando a ideia do método dos coeficientes a determinar: quando o termo não-homogêneo é da forma (polinômio em
) vezes
, tentamos um
que tenha a mesma forma (um polinômio de mesmo grau vezes
), multiplicado por
se houver ressonância (isto é, se
for raiz da equação característica). Aqui o termo é
: polinômio de grau 1 vezes
. Como
NÃO é raiz da característica (as raízes foram
e
), não há ressonância, então tentamos:
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos
e
passo a passo (faça essas contas devagar na prova):
Defina . Então
.
Usando a regra do produto,
Defina
Usando a regra do produto,
Como
, obtemos
Agora a segunda derivada:
porque derivada do parêntese
é
. Assim
Passo 5
Substituímos
na equação diferencial e igualamos ao lado direito:
Fatorando
e coletando termos em
e termos constantes:
Queremos isso igual a
, ou seja
Comparando coeficientes do polinômio em
(porque
é comum):
- coeficiente de
: ⇒ . - termo constante:
. Com temos ⇒ ⇒ .
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é
Agora usamos as condições iniciais para achar
e
.
Primeiro
. Avaliando em
:
Logo
Agora precisamos de
. Derivando a expressão geral (vamos derivar termo a termo):
Já derivamos o particular antes em detalhe; com
obtemos (veja cálculo do Passo 4 com as constantes já substituídas)
Portanto
Usando
:
logo
Passo 7
Resolvendo o sistema linear
somando as duas equações obtemos
, então
. Substituindo em
dá
.
Assim a solução particular com constantes ajustadas é
Passo 8
Vamos interpretar e descrever o gráfico (como esboçar na prova ou usar um software):
- Valores iniciais e curvatura em
:
Podemos obter
diretamente da E.D.O.:
Então no ponto
a curva tem mínimo/suavemente côncava para cima (curvatura positiva) e saída horizontal (slope zero).
- Comportamento para
:
-
cresce mais rápido que , então o termo domina. Logo para : grande e positivo.
- Comportamento para
:
-
explode quando , enquanto e os termos com vão para . Assim quando : cresce exponencialmente à esquerda. Portanto a solução também é grande e positiva para muito negativo.
- Esboço prático:
- Marque o ponto
com tangente horizontal. - Para
a solução inicialmente sobe (curvatura positiva) e, à medida que cresce bastante, cresce muito rapidamente por causa de . - Para
a solução também cresce rapidamente ao ir para a esquerda por causa de . - Entre
esquerda'' edireita’’ a solução pode apresentar um vale ou uma ondulação dependendo do balanço entre termos, mas os dados acima já permitem um esboço qualitativo correto. - Se quiser um gráfico preciso: avalie numericamente
em uma grade (por exemplo ) e ligue os pontos suavemente; ou insira a fórmula em software (Desmos, GeoGebra, Python/matplotlib) para plotar.
Observação motivadora: embora a expressão pareça um pouco longa, ela é explicitamente formada por combinações de exponenciais e um termo do tipo
— então qualquer software de plotagem ou uma tabela de pontos vai desenhar isso facilmente.