Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
lim (x, y) (0,0) sen x yx.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite de duas variáveis
lim(x,y)to(0,0)sin(xy)x
O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e o que vamos precisar é usar a expansão de sin t para valores pequenos de t.

Passo 2

Para usar a expansão, note que, para xneq0, podemos definir t=xy e escrever
sin(xy)x = sin tx, t=xy
Mas queremos um fator t no denominador de sin t para aplicar o limite conhecido.

Passo 3

Reescrevendo a expressão para isolar t em cima e embaixo, temos
sin(xy)x = y cdot sin(xy)xy
Aqui usamos que sin(xy)x = sin(xy)xycdot y.

Passo 4

Agora aplicamos limites em cada fator:
  • Como (x,y)to(0,0), temos xyto0, então sin(xy)xyto1 pelo limite clássico.
  • E claramente yto0.
Pelo teorema do produto, o limite do produto é o produto dos limites, isto é,
lim(x,y)to(0,0)sin(xy)x = lim y cdot limsin(xy)xy = 0cdot1 = 0

Resposta

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