(valor: 3,5 ) Resolva as integrais:
integral1^+infty 1x^4+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral1^+infty 1x^4+x^2 , dx. Esse problema está relacionado ao estudo de integrais impróprias e frações parciais na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão 1x^4+x^2. Olha só:
x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)
Então, a fração fica:
1x^4 + x^2 = 1x^2(x^2 + 1)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração usando frações parciais. A ideia é escrever 1x^2(x^2 + 1) como a soma de frações mais simples. Vamos supor que:
1x^2(x^2 + 1) = Ax + Bx^2 + Cx^2 + 1
Multiplicando ambos os lados por x^2(x^2 + 1) para eliminar os denominadores:
1 = A x (x^2 + 1) + B (x^2 + 1) + C x^2
Para encontrar os valores de A, B e C, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação. Mas, nesse caso específico, percebemos que a decomposição direta fica mais simples:
1x^2(x^2 + 1) = 1x^2 - 1x^2 + 1

Passo 4

Agora que temos a fração decompondo em termos mais simples, vamos integrar cada parte separadamente:
integral ( 1x^2 - 1x^2 + 1 ) dx = integral 1x^2 dx - integral 1x^2 + 1 dx
Sabemos que:
  • integral 1x^2 dx = -1x
  • integral 1x^2 + 1 dx = arctan(x)
Então, a integral fica:
-1x - arctan(x)

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão no intervalo de 1 até +infty:
[ -1x - arctan(x) ]1^+infty
Primeiro, vamos calcular o limite quando x tende a +infty:
  • -1x tende a 0.
  • arctan(x) tende a pi2.
Então, o valor no infinito é:
0 - pi2 = -pi2
Agora, avaliamos em x = 1:
-11 - arctan(1) = -1 - pi4
Subtraindo os valores:
( -pi2 ) - ( -1 - pi4 ) = -pi2 + 1 + pi4
Simplificando os termos com pi:
-pi2 + pi4 = -pi4
Então, a expressão total fica:
1 - pi4

Resposta

O valor da integral é 1 - pi4.

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