(valor: 3,5 ) Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema está relacionado ao estudo de integrais impróprias e frações parciais na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão
. Olha só:
Então, a fração fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração usando frações parciais. A ideia é escrever
como a soma de frações mais simples. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Mas, nesse caso específico, percebemos que a decomposição direta fica mais simples:
Passo 4
Agora que temos a fração decompondo em termos mais simples, vamos integrar cada parte separadamente:
Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão no intervalo de 1 até
:
Primeiro, vamos calcular o limite quando
tende a
:
-
tende a 0. -
tende a .
Então, o valor no infinito é:
Agora, avaliamos em
:
Subtraindo os valores:
Simplificando os termos com
:
Então, a expressão total fica:
Resposta
O valor da integral é
.