Determine o valor de k para que a função seja contínua na origem

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=dfrac3x^2yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)k-5,&(x,y)=(0,0)
e pede o valor de k para que f seja contínua na origem. Vamos usar limites de funções de duas variáveis e, em particular, coordenadas polares para avaliar o limite.

Passo 2

Para calcular o limite
L=lim(x,y)to(0,0)3x^2yx^2+y^2,
vamos usar a substituição polar
x=rcostheta, y=rsintheta, r=raizx^2+y^2
Então o numerador e denominador viram
3x^2y=3r^3cos^2thetasintheta,
x^2+y^2=r^2
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Passo 3

3x^2yx^2+y^2=3r^3cos^2thetasinthetar^2=3rcos^2thetasintheta
Como rto0 faz 3rcos^2thetasinthetato0 independentemente de theta, temos L=0.

Passo 4

Para que f seja contínua na origem, precisamos de
k-5=f(0,0)=lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Daí

Passo 5

k-5=0Rightarrow k=5

Resposta

k=5

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