( 2 pt ) Determinar as equações paramétricas para a reta tangente à hélice com equação vetorial r(t)=lang<= 2 cos t, sin t, trang<= no ponto (0,1, pi / 2)

Passo 1

O enunciado dá a hélice
r(t)=lang<= 2cos t,;sin t,;trang<=
e pede as equações paramétricas da reta tangente no ponto (0,1,pi/2).
Para isso precisamos (i) determinar o parâmetro t0 que gera esse ponto, (ii) calcular o vetor velocidade vec r,'(t) e avaliá-lo em t0, e (iii) usar a forma ponto-direção da reta.

Passo 2

Procuramos t0 tal que
2cos t0 = 0, sin t0 = 1, t0 = pi2
De fato, cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1 e o terceiro componente t0 coincide com pi/2. Logo t0=pi/2.

Passo 3

Calculamos a derivada
vec r,'(t)=lang<= -2sin t,;cos t,;1rang<=
e avaliamos em t0=pi/2:
vec r,'l(tfracpi2r) =lang<= -2sin(tfracpi2),;cos(tfracpi2),;1rang<= =lang<= -2,;0,;1rang<=

Passo 4

A reta tangente em P=(0,1,tfracpi2) com vetor direção lang<= -2,0,1rang<= tem equação ponto-direção
L(s)=P+s,vec r,'l(tfracpi2r) =(0,1,tfracpi2)+s,lang<= -2,0,1rang<=
As equações paramétricas são então:

Resposta

x(s)=-2s,
y(s)=1,
z(s)=pi2+s

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