A gente precisa calcular a integral . O conteúdo aqui envolve técnicas de integração com raízes quadráticas no denominador, e vamos usar completar o quadrado, troca de variável e separação em integrais mais simples.
Passo 2
Começamos completando o quadrado no radicando:
Assim a integral vira .
Passo 3
Fazemos a substituição , então e . A integral passa a ser
Passo 4
Expandimos o numerador e separamos em três integrais:
Passo 5
Para reescrevemos . Isso leva a
Passo 6
Para integral uraiz4u^2+5,du usamos a substituição t=4u^2+5, obtendo
integral uraiz4u^2+5,du = 14raiz4u^2+5 + C2
Passo 7
Para integral 1raiz4u^2+5,du aplicamos a primitiva padrão de 1/raizau^2+b:
integral 1raiz4u^2+5,du = 12lnl|2u+raiz4u^2+5r| + C3
Passo 8
Agora reunimos os três resultados, somamos constantes e voltamos para x (isto é, u=x-2). Fazendo as contas dos coeficientes, chega-se à primitiva final.