(valor: 3,5 ) Resolva as integrais:
integral x^2raiz4 x^2-16 x+21 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral integral x^2raiz4x^2-16x+21,dx. O conteúdo aqui envolve técnicas de integração com raízes quadráticas no denominador, e vamos usar completar o quadrado, troca de variável e separação em integrais mais simples.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no radicando:
4x^2-16x+21 = 4(x^2-4x)+21 = 4(x-2)^2+5
Assim a integral vira integral x^2raiz4(x-2)^2+5,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição u = x-2, então x = u+2 e dx = du. A integral passa a ser
integral (u+2)^2raiz4u^2+5,du

Passo 4

Expandimos o numerador e separamos em três integrais:
integral (u+2)^2raiz4u^2+5,du = integral u^2raiz4u^2+5,du ;+ ;4integral uraiz4u^2+5,du ;+ ;4integral 1raiz4u^2+5,du

Passo 5

Para integral u^2raiz4u^2+5,du reescrevemos u^2 = tfrac14(4u^2+5)-tfrac54. Isso leva a
integral u^2raiz4u^2+5,du = 18uraiz4u^2+5 - 516lnl|2u+raiz4u^2+5r| + C1

Passo 6

Para integral uraiz4u^2+5,du usamos a substituição t=4u^2+5, obtendo
integral uraiz4u^2+5,du = 14raiz4u^2+5 + C2

Passo 7

Para integral 1raiz4u^2+5,du aplicamos a primitiva padrão de 1/raizau^2+b:
integral 1raiz4u^2+5,du = 12lnl|2u+raiz4u^2+5r| + C3

Passo 8

Agora reunimos os três resultados, somamos constantes e voltamos para x (isto é, u=x-2). Fazendo as contas dos coeficientes, chega-se à primitiva final.

Passo 9

Resposta

[\frac{x+6}{8}\sqrt{4x^{2}-16x+21} + \frac{27}{16}\ln\bigl|2x-4+\sqrt{4x^{2}-16x+21}\bigr| + C]

Exercícios relacionados