Calcule os limites abaixo:(0,4 pontos)
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos ^{3}(x)-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de
\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{3}(x)-1}
quando x\to0^{+}. O conteúdo envolve limite de funções com indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} e pequenas aproximações (Taylor de ordem mínima ou fatoração de cosseno perto de 1).

Passo 2

Para x\to0 temos as aproximações \sin x\sim x e \cos x\sim1-\tfrac{x^{2}}{2}.
Também podemos fatorar o denominador:
\cos^{3}x-1=(\cos x-1)\bigl(\cos^{2}x+\cos x+1\bigr).
Como \cos x-1\sim -\tfrac{x^{2}}{2} e \cos^{2}x+\cos x+1\sim3, segue
\cos^{3}x-1\sim -\frac{3x^{2}}{2}.

Passo 3

Substituindo as aproximações na expressão original, obtemos
\frac{\sin^{2}x}{\cos^{3}x-1} \sim \frac{x^{2}}{-\frac{3x^{2}}{2}} = -\frac{2}{3}.

Resposta

-\tfrac{2}{3}

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