Faça o estudo completo da função
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}
isto é,
domínio,
raízes,
paridade,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
tabela de crescimento/concavidade
esboço do gráfico da função.
e identificar os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
(1,1 pts)

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}
incluindo domínio, raízes, paridade, assíntotas horizontais e verticais, estudo do sinal de f' e f'', tabela de crescimento/concavidade, esboço do gráfico e identificação dos pontos de máximo, mínimo e inflexão. O conteúdo envolve definição de domínio, limites, derivadas e sinal de funções de uma variável.

Passo 2

Para achar o domínio, impedimos divisão por zero em x^{2}-1. Assim,
x^{2}-1\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm1.
Logo o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{\,-1,1\}.

Passo 3

As raízes vêm de x^{3}=0, logo x=0. Assim (0,0) é o único ponto em que f(x)=0.
Para a paridade, calculamos
f(-x)=\frac{(-x)^{3}}{(-x)^{2}-1} =-\frac{x^{3}}{x^{2}-1} =-f(x),
logo f é função ímpar.

Passo 4

Para estudar assíntotas em x\to\pm\infty, fazemos a divisão polinomial:
\frac{x^{3}}{x^{2}-1} =x+\frac{x}{x^{2}-1}.
Como \frac{x}{x^{2}-1}\to0 quando |x|\to\infty, a assíntota oblíqua é y=x. Não há assíntota horizontal além dessa oblíqua.

Passo 5

Em x=\pm1 surgem assíntotas verticais. Estudamos os limites laterais:
Em x\to1^{-},
x^{3}\to1,\quad x^{2}-1\to0^{-} \quad\Longrightarrow\quad f(x)\to-\infty.
Em x\to1^{+},
x^{2}-1\to0^{+} \quad\Longrightarrow\quad f(x)\to+\infty.
Em x\to-1^{-},
x^{3}\to-1,\quad x^{2}-1\to0^{+} \quad\Longrightarrow\quad f(x)\to-\infty.
Em x\to-1^{+},
x^{2}-1\to0^{-} \quad\Longrightarrow\quad f(x)\to+\infty.

Passo 6

Calculamos f'(x) por quociente:
f'(x) =\frac{(x^{2}-1)\cdot3x^{2}-x^{3}\cdot2x}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{x^{2}(x^{2}-3)}{(x^{2}-1)^{2}}.
Os zeros de f' são x=0 e x=\pm\sqrt{3}. Como o denominador é sempre positivo (exceto em \pm1), o sinal de f' é o mesmo de x^{2}(x^{2}-3). Fazendo o estudo de sinal em cada intervalo, obtemos:
  • f'>0 em (-\infty,-\sqrt{3}) e (\sqrt{3},\infty).
  • f'<0 em (-\sqrt{3},-1), (-1,0), (0,1) e (1,\sqrt{3}).
Dessa forma há máximo local em x=-\sqrt{3} e mínimo local em x=\sqrt{3}. Em x=0 não há troca de sinal de f', logo não há extremo.

Passo 7

Para f''(x), derivamos de novo:
f''(x) =\frac{2x(x^{2}+3)}{(x^{2}-1)^{3}}.
O numerador 2x(x^{2}+3) tem o mesmo sinal de x, e o denominador (x^{2}-1)^{3} é positivo para |x|>1 e negativo para |x|<1. Logo:
  • Em (-\infty,-1), x<0 e denom >0 \Rightarrow f''<0 (concavidade para baixo).
  • Em (-1,0), x<0 e denom <0 \Rightarrow f''>0 (concavidade para cima).
  • Em (0,1), x>0 e denom <0 \Rightarrow f''<0 (concavidade para baixo).
  • Em (1,\infty), x>0 e denom >0 \Rightarrow f''>0 (concavidade para cima).
O único ponto de inflexão no domínio ocorre em x=0, pois é onde f'' troca de sinal. Em x=\pm1 são assíntotas verticais, não inflexão.

Passo 8

Tabela resumida de sinais, monotonia e concavidade:
\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Intervalo} & f' & \text{Monotonia} & f'' & \text{Concavidade}\\hline (-\infty,-\sqrt3)& + & \text{subindo} & - & \text{p/ baixo}\\\ (-\sqrt3,-1)& - & \text{descendo} & - & \text{p/ baixo}\\\ (-1,0)& - & \text{descendo} & + & \text{p/ cima}\\\ (0,1)& - & \text{descendo} & - & \text{p/ baixo}\\\ (1,\sqrt3)& - & \text{descendo} & + & \text{p/ cima}\\\ (\sqrt3,\infty)& + & \text{subindo} & + & \text{p/ cima} \end{array}

Passo 9

Coordenadas dos pontos notáveis:
  • Máximo local em x=-\sqrt{3}:
f(-\sqrt3)=\frac{(-\sqrt3)^{3}}{(\sqrt3)^{2}-1} =\frac{-3\sqrt3}{3-1} =-\frac{3\sqrt3}{2}.
  • Mínimo local em x=\sqrt{3}:
f(\sqrt3)=\frac{(\sqrt3)^{3}}{3-1} =\frac{3\sqrt3}{2}.
  • Ponto de inflexão em (0,0).

Passo 10

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Domínio em três ramos: (-\infty,-1), (-1,1), (1,\infty).
  • Assíntotas verticais em x=\pm1 com comportamento \pm\infty conforme estudado.
  • Assíntota oblíqua y=x.
  • Função ímpar, raiz em (0,0).
  • Sobe até o máximo em \bigl(-\sqrt3,-\tfrac{3\sqrt3}{2}\bigr), desce atravessando o ponto de inflexão (0,0) até o mínimo em \bigl(\sqrt3,\tfrac{3\sqrt3}{2}\bigr) e então sobe de novo.
  • Alterna concavidade conforme tabela.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\pm1\}
Raiz: (0,0)
Paridade: ímpar
Assíntotas verticais: x=\pm1
Assíntota oblíqua: y=x
Máximo local: \bigl(-\sqrt3,\,-\tfrac{3\sqrt3}{2}\bigr)
Mínimo local: \bigl(\sqrt3,\,\tfrac{3\sqrt3}{2}\bigr)
Ponto de inflexão: (0,0)
Monotonia e concavidade conforme tabela do Passo 8.

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