Faça o estudo completo da função
isto é,
domínio,
raízes,
paridade,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
tabela de crescimento/concavidade
esboço do gráfico da função.
e identificar os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
(1,1 pts)
domínio,
raízes,
paridade,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
tabela de crescimento/concavidade
esboço do gráfico da função.
e identificar os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
(1,1 pts)
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
incluindo domínio, raízes, paridade, assíntotas horizontais e verticais, estudo do sinal de
e
, tabela de crescimento/concavidade, esboço do gráfico e identificação dos pontos de máximo, mínimo e inflexão. O conteúdo envolve definição de domínio, limites, derivadas e sinal de funções de uma variável.
Passo 2
Para achar o domínio, impedimos divisão por zero em
. Assim,
Logo o domínio é
Passo 3
As raízes vêm de
, logo
. Assim
é o único ponto em que
.
Para a paridade, calculamos
Para a paridade, calculamos
logo
é função ímpar.
Passo 4
Para estudar assíntotas em
, fazemos a divisão polinomial:
Como
quando
, a assíntota oblíqua é
Não há assíntota horizontal além dessa oblíqua.
Passo 5
Em
surgem assíntotas verticais. Estudamos os limites laterais:
Em
,
Em
,
Em
,
Em
,
Passo 6
Calculamos
por quociente:
Os zeros de
são
e
. Como o denominador é sempre positivo (exceto em
), o sinal de
é o mesmo de
. Fazendo o estudo de sinal em cada intervalo, obtemos:
-
em e . -
em , , e .
Dessa forma há máximo local em
e mínimo local em
. Em
não há troca de sinal de
, logo não há extremo.
Passo 7
Para
, derivamos de novo:
O numerador
tem o mesmo sinal de
, e o denominador
é positivo para
e negativo para
. Logo:
- Em
, e denom >0 (concavidade para baixo). - Em
, e denom <0 (concavidade para cima). - Em
, e denom <0 (concavidade para baixo). - Em
, e denom >0 (concavidade para cima).
O único ponto de inflexão no domínio ocorre em
, pois é onde
troca de sinal. Em
são assíntotas verticais, não inflexão.
Passo 8
Tabela resumida de sinais, monotonia e concavidade:
Passo 9
Coordenadas dos pontos notáveis:
- Máximo local em
:
- Mínimo local em
:
- Ponto de inflexão em
.
Passo 10
Esboço qualitativo do gráfico:
- Domínio em três ramos:
, , . - Assíntotas verticais em
com comportamento conforme estudado. - Assíntota oblíqua
. - Função ímpar, raiz em
. - Sobe até o máximo em
, desce atravessando o ponto de inflexão até o mínimo em e então sobe de novo. - Alterna concavidade conforme tabela.
Resposta
Domínio:
Raiz:
Paridade: ímpar
Assíntotas verticais:
Assíntota oblíqua:
Máximo local:
Mínimo local:
Ponto de inflexão:
Monotonia e concavidade conforme tabela do Passo 8.
Raiz:
Paridade: ímpar
Assíntotas verticais:
Assíntota oblíqua:
Máximo local:
Mínimo local:
Ponto de inflexão:
Monotonia e concavidade conforme tabela do Passo 8.