( 1,1 pontos) Faça o estudo completo da função
Domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
Isso envolve: domínio, paridade, zeros, interseção com o eixo
, assíntotas, derivada primeira (monotonia e extremos), derivada segunda (concavidade e inflexão), tabela resumo de monotonia/concavidade e esboço do gráfico.
Passo 2
Domínio e paridade
O denominador não pode ser zero, logo
O denominador
Para verificar paridade, calculamos
logo
é função par.
Passo 3
Zeros e interseção com o eixo
Os zeros ocorrem quando o numerador se anula:
Os zeros ocorrem quando o numerador se anula:
Interseção com o eixo
em
:
Passo 4
Assíntotas
- Verticais:
(onde o denominador zera).
- Para
e , . - Para
e , .
- Horizontal: grau do numerador = grau do denominador, então
logo assíntota horizontal
.
Passo 5
Derivada primeira e monotonia
Calculemos
Calculemos
O denominador é sempre positivo, então o sinal de
é o de
:
-
para ⇒ cresce em e . -
para ⇒ decresce em e .
Emmuda de crescente para decrescente ⇒ máximo local em .
Passo 6
Derivada segunda e concavidade
A derivada segunda é
A derivada segunda é
O numerador é sempre positivo, então o sinal vem de
:
- Se
, então ⇒ (côncava para cima). - Se
, então ⇒ (côncava para baixo).
Não há pontos de inflexão porquenão se anula em .
Passo 7
Tabela resumo
Passo 8
Esboço do gráfico
- Assíntotas:
, (verticais) e (horizontal). - Zeros em
. - Máximo local em
. - Comportamento nos extremos:
. - Cresce de
(assíntota) até em , cai para em , cresce até em , decresce de a em , cresce de a em .
Em cada ramo a concavidade é conforme tabela acima.
Resposta
Domínio:
Paridade: par
Zeros:
Interseção com :
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Monotonia: cresce em e
, decresce em
e
Máximo local:
Concavidade: côncava para cima em , para baixo em
Pontos de inflexão: nenhum.
Paridade: par
Zeros:
Interseção com
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Monotonia: cresce em
Máximo local:
Concavidade: côncava para cima em
Pontos de inflexão: nenhum.