( 1,1 pontos) Faça o estudo completo da função
f(x)=\frac{2-x^{2}}{x^{2}-1}
Domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{2 - x^{2}}{x^{2} - 1}
Isso envolve: domínio, paridade, zeros, interseção com o eixo y, assíntotas, derivada primeira (monotonia e extremos), derivada segunda (concavidade e inflexão), tabela resumo de monotonia/concavidade e esboço do gráfico.

Passo 2

Domínio e paridade
O denominador x^{2}-1 não pode ser zero, logo
\text{Dom}(f)=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
Para verificar paridade, calculamos
f(-x)=\frac{2-(-x)^{2}}{(-x)^{2}-1}=\frac{2-x^{2}}{x^{2}-1}=f(x),
logo f é função par.

Passo 3

Zeros e interseção com o eixo y
Os zeros ocorrem quando o numerador se anula:
2 - x^{2}=0\implies x=\pm\sqrt{2}.
Interseção com o eixo y em x=0:
f(0)=\frac{2-0}{0-1}=-2.

Passo 4

Assíntotas
  1. Verticais: x=\pm1 (onde o denominador zera).
  • Para x\to1^{-} e x\to-1^{+}, f(x)\to-\,\infty.
  • Para x\to1^{+} e x\to-1^{-}, f(x)\to+\,\infty.
  1. Horizontal: grau do numerador = grau do denominador, então
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{-1}{1}=-1,
logo assíntota horizontal y=-1.

Passo 5

Derivada primeira e monotonia
Calculemos
f'(x) =\frac{(-2x)(x^{2}-1)-(2-x^{2})(2x)}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{-2x\,(x^{2}-1)-2x\,(2-x^{2})}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
O denominador é sempre positivo, então o sinal de f'(x) é o de -2x:
  • f'(x)>0 para x<0 f cresce em (-\infty,-1) e (-1,0).
  • f'(x)<0 para x>0 f decresce em (0,1) e (1,\infty).
    Em x=0 muda de crescente para decrescente ⇒ máximo local em (0,f(0))=(0,-2).

Passo 6

Derivada segunda e concavidade
A derivada segunda é
f''(x) =2\,\frac{3x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{3}}.
O numerador é sempre positivo, então o sinal vem de (x^{2}-1)^{3}:
  • Se |x|>1, então x^{2}-1>0 f''(x)>0 (côncava para cima).
  • Se |x|<1, então x^{2}-1<0 f''(x)<0 (côncava para baixo).
    Não há pontos de inflexão porque f''(x) não se anula em \text{Dom}(f).

Passo 7

Tabela resumo
\begin{array}{c|c|c|c} \text{Intervalo} & f'(x) & \text{Monotonia} & f''(x)\,,\;\text{Concavidade}\\hline (-\infty,-1) & + & \text{cresce} & +\,,\;\text{côncava\,up}\\\ (-1,0) & + & \text{cresce} & -\,,\;\text{côncava\,down}\\\ (0,1) & - & \text{decresce}& -\,,\;\text{côncava\,down}\\\ (1,\infty) & - & \text{decresce}& +\,,\;\text{côncava\,up} \end{array}ôôôô

Passo 8

Esboço do gráfico
  • Assíntotas: x=-1, x=1 (verticais) e y=-1 (horizontal).
  • Zeros em \bigl(\pm\sqrt{2},0\bigr).
  • Máximo local em (0,-2).
  • Comportamento nos extremos: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-1.
  • Cresce de -1 (assíntota) até +\infty em -1<x<-\!,1, cai para -\infty em ( -1,0), cresce até -2 em x=0, decresce de -2 a -\infty em (0,1), cresce de +\infty a -1 em (1,\infty).
Em cada ramo a concavidade é conforme tabela acima.

Resposta

Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)
Paridade: par
Zeros: x=\pm\sqrt{2}
Interseção com y: f(0)=-2
Assíntotas verticais: x=\pm1
Assíntota horizontal: y=-1
Monotonia: cresce em (-\infty,-1) e (-1,0), decresce em (0,1) e (1,\infty)
Máximo local: (0,-2)
Concavidade: côncava para cima em |x|>1, para baixo em |x|<1
Pontos de inflexão: nenhum.

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