Calcule os limites das funções dadas:
lim (x, y) (2,2) x-yx^3-y^3

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da função dada quando os pontos (x, y) se aproximam de (2,2). A função que temos é:
lim (x, y) (2,2) x - yx^3 - y^3
Para resolver isso, vamos usar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que tanto o numerador quanto o denominador se anulam quando x = y = 2. Isso nos dá uma forma indeterminada 00. Para resolver isso, precisamos simplificar a fração.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador x^3 - y^3. Sabemos que a diferença de cubos pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

Passo 4

Substituindo essa fatoração na expressão original, temos:
x - yx^3 - y^3 = x - y(x - y)(x^2 + xy + y^2)

Passo 5

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo (x - y) que está no numerador e no denominador:
x - y(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 1x^2 + xy + y^2

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x e y por 2:
lim (x, y) (2,2) 1x^2 + xy + y^2 = 12^2 + 2 cdot 2 + 2^2 = 14 + 4 + 4 = 112

Resposta

O limite da função é 112.

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