Verifique:
d) argcosh(raizx^2+1)=argsenh(|x|).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
argcoshl(raizx^2+1r) = argsenhl(lvert xrvertr)
O conteúdo é funções hiperbólicas inversas. Vamos usar as definições por logaritmos e simplificar passo a passo.

Passo 2

Lembremos as definições em bloco:
argcosh(u)=lnl(u+raizu^2-1r),
argsenh(v)=lnl(v+raizv^2+1r)

Passo 3

Começando pelo lado esquerdo, tome u=raizx^2+1. Então
argcoshl(raizx^2+1r) =lnl(raizx^2+1+raizl(raizx^2+1r)^2-1r)

Passo 4

Dentro do segundo radical temos
l(raizx^2+1r)^2-1 =x^2+1-1 =x^2,
logo raizl(raizx^2+1r)^2-1=raizx^2=lvert xrvert. Assim
argcoshl(raizx^2+1r) =lnl(raizx^2+1+lvert xrvertr)

Passo 5

Compare com
argsenhl(lvert xrvertr) =lnl(lvert xrvert+raizlvert xrvert^2+1r) =lnl(lvert xrvert+raizx^2+1r)
Como a soma é comutativa, os dois logaritmos coincidem.

Resposta

A identidade está verificada:
argcoshl(raizx^2+1r) = argsenhl(lvert xrvertr)

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