Calcule os limites abaixo, usando preferencialmente o método de Bernoulli-l’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln\bigl(\cos(x)\bigr)}{x}.
Isso envolve limites de funções que resultam numa indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a regra de Bernoulli–l’Hôpital, que diz que, em casos de \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}, podemos derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação:
\lim_{x\to0^{+}}\ln\bigl(\cos(x)\bigr)=\ln(1)=0, \quad \lim_{x\to0^{+}}x=0,
logo temos 0/0 e a regra de l’Hôpital se aplica.

Passo 3

Aplicando l’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada de \ln\bigl(\cos(x)\bigr) é
\frac{d}{dx}\ln\bigl(\cos(x)\bigr) =\frac{1}{\cos(x)}\cdot(-\sin(x)) =-\tan(x),
e derivada de x é 1. Assim
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln\bigl(\cos(x)\bigr)}{x} =\lim_{x\to0^{+}}\bigl(-\tan(x)\bigr).

Passo 4

Basta agora avaliar
\lim_{x\to0^{+}}-\tan(x) = -\tan(0) = 0.

Resposta

0

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