Calcule os limites abaixo, usando preferencialmente o método de Bernoulli-l’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos ^{3}(x)-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin x}{\cos^{3}x-1}.
Este é um problema de limites envolvendo forma indeterminada 0/0. Vamos usar o método de Bernoulli–l’Hôpital, que diz que, se
\lim_{x\to a}f(x)=0, \quad \lim_{x\to a}g(x)=0,
e f e g são diferenciáveis, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que esse último limite exista (ou seja \pm\infty).

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação:
\lim_{x\to0^{+}}\sin x = 0, \qquad \lim_{x\to0^{+}}(\cos^{3}x-1)=1^{3}-1=0.
Logo, temos a forma 0/0 e podemos aplicar Bernoulli–l’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
f(x)=\sin x \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\cos x,
g(x)=\cos^{3}x-1 \quad\Longrightarrow\quad g'(x)=3\cos^{2}x\cdot(-\sin x)=-3\cos^{2}x\,\sin x.
Portanto,
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin x}{\cos^{3}x-1} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\cos x}{-3\cos^{2}x\,\sin x} =\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(-\tfrac{1}{3\cos x\,\sin x}\Bigr).

Passo 4

Quando x\to0^{+}, temos \cos x\to1 e \sin x\to0^{+}. Assim o denominador 3\cos x\,\sin x tende a 0^{+}, e com o sinal negativo a fração diverge para menos infinito:
\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(-\tfrac{1}{3\cos x\,\sin x}\Bigr)=-\infty.

Resposta

-\infty

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