Calcule os limites abaixo, usando preferencialmente o método de Bernoulli-l’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos ^{3}(x)-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{3}(x)-1}.
Aqui temos uma forma indeterminada 0/0 ao fazer x\to0^+, pois \sin^{2}(x)\to0 e \cos^{3}(x)-1\to1-1=0. Vamos usar a Regra de Bernoulli–l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Aplicando l’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{2}(x)\bigr) =2\,\sin(x)\cos(x).
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{3}(x)-1\bigr) =3\,\cos^{2}(x)\cdot(-\sin(x)) =-3\,\sin(x)\cos^{2}(x).

Passo 3

Pela regra de l’Hôpital, o limite original vale
\lim_{x\to0^{+}}\frac{2\,\sin(x)\cos(x)}{-3\,\sin(x)\cos^{2}(x)}
e podemos simplificar \sin(x) (não nulo para x>0) e uma potência de \cos(x):
\frac{2\,\sin(x)\cos(x)}{-3\,\sin(x)\cos^{2}(x)} =\frac{2}{-3\,\cos(x)} =-\frac{2}{3\,\cos(x)}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite simplificado em x\to0^+. Como \cos(x)\to1, temos
-\frac{2}{3\,\cos(x)}\;\longrightarrow\;-\frac{2}{3\cdot1} =-\frac{2}{3}.

Resposta

-\tfrac{2}{3}

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