Calcule os limites abaixo, usando preferencialmente o método de Bernoulli-l’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(x^{2}\right)}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{e^{x}}
e o conteúdo principal aqui é a aplicação da regra de Bernoulli–l’Hôpital para a forma \infty/\infty.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: para x\to\infty
\ln\bigl(x^{2}\bigr)=2\ln x\to\infty
e^{x}\to\infty
Logo temos \infty/\infty e podemos aplicar l’Hôpital, derivando numerador e denominador.

Passo 3

Calculando as derivadas:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}\bigr) = \frac{1}{x^{2}}\cdot 2x = \frac{2}{x},
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Pela regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{e^{x}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2/x}{e^{x}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{x\,e^{x}}.

Passo 4

No limite
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x\,e^{x}},
o denominador x\,e^{x} cresce sem parar (pois e^{x} domina qualquer potência de x), então a fração tende a zero.

Resposta

0

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