Calcule os limites abaixo, usando preferencialmente o método de Bernoulli-l’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{x-2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x}{x-2}\Bigr)^{x},
que é um caso de indeterminação do tipo 1^{\infty}. Vamos usar o método de Bernoulli–l’Hôpital, que consiste em transformar esse tipo de limite numa exponencial: definimos y=(x/(x-2))^x e analisamos \ln y.

Passo 2

Escrevemos
y = \Bigl(\frac{x}{x-2}\Bigr)^{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln y = x\ln\Bigl(\frac{x}{x-2}\Bigr).

Passo 3

Note que
\ln\Bigl(\frac{x}{x-2}\Bigr) =\ln\Bigl(\frac{1}{1-2/x}\Bigr) =-\ln\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr).
Logo
\ln y =-\,x\;\ln\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr).

Passo 4

Ao enviar x\to\infty, temos indeterminação \infty\cdot0. Reescrevemos como quociente:
\ln y =-\,\frac{\ln\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr)}{1/x}.
Agora podemos aplicar a regra de l’Hôpital a esse quociente.

Passo 5

Calculamos as derivadas em relação a x:
derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\Bigl[-\ln\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr)\Bigr] =-\frac{1}{1-2/x}\cdot\frac{2}{x^2} =-\frac{2}{x^2\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr)},
derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{x}\Bigr] =-\tfrac{1}{x^2}.

Passo 6

Pelo l’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\ln y =\lim_{x\to\infty} \frac{-\frac{2}{x^2(1-2/x)}}{-\frac{1}{x^2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{1-\tfrac{2}{x}} =2.
Portanto \ln y\to2, o que implica y\to e^2.

Resposta

\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x}{x-2}\Bigr)^{x}=e^{2}.

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