Calcule os limites abaixo, usando preferencialmente o método de Bernoulli-l’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\operatorname{sen}(x))^{\operatorname{sen}(x)}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to0^+}(\sin(x))^{\sin(x)}
usando preferencialmente o método de Bernoulli–l’Hôpital. Aqui o conteúdo principal é limite de função na forma 0^0 e vamos reescrever a expressão em termos de exponencial para aplicar l’Hôpital no expoente.

Passo 2

Denotando
f(x) = (\sin(x))^{\sin(x)},
podemos escrever
f(x) = \exp\bigl(\sin(x)\ln(\sin(x))\bigr).
Logo
\lim_{x\to0^+}f(x) = \exp\!\Bigl(\lim_{x\to0^+}\sin(x)\ln(\sin(x))\Bigr).

Passo 3

Vamos calcular
L = \lim_{x\to0^+}\sin(x)\ln(\sin(x)).
Como \sin(x)\to0 e \ln(\sin(x))\to-\infty, a forma é 0\cdot(-\infty). Reescrevemos
\sin(x)\ln(\sin(x)) = \frac{\ln(\sin(x))}{\csc(x)},
pois \csc(x)=1/\sin(x).

Passo 4

Agora \ln(\sin(x))\to-\infty e \csc(x)\to+\infty, temos forma \tfrac{-\infty}{+\infty}. Aplicamos l’Hôpital:
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(\sin(x))}{\csc(x)} = \lim_{x\to0^+}\frac{\displaystyle\frac{d}{dx}\ln(\sin(x))}{\displaystyle\frac{d}{dx}\csc(x)} = \lim_{x\to0^+}\frac{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{-\csc(x)\cot(x)}.

Passo 5

Simplificando a fração:
\frac{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{-\csc(x)\cot(x)} = \frac{\cos(x)/\sin(x)}{-\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{1}{\sin(x)}} = -\,\sin(x).
Logo
L = \lim_{x\to0^+}(-\sin(x)) = 0.

Passo 6

Retornando à função original:
\lim_{x\to0^+}(\sin(x))^{\sin(x)} = \exp(L) = \exp(0) = 1.

Resposta

1

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