O raio de uma bola cresce à razão de 4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Determine a taxa de variação do volume da bola no instante em que o raio é 9 cm .

Passo 1

O enunciado diz que o raio r da bola cresce à razão \frac{dr}{dt}=4,cm/s e pede a taxa de variação do volume V no instante em que r=9,cm. Vamos usar o modelo de esfera e a regra da cadeia para taxas relacionadas.

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera é
V = \frac{4}{3}\pi r^3.
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t e aplicando a regra da cadeia, obtemos
\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi r^3\Bigr) = 4\pi r^2 \,\frac{dr}{dt}.

Passo 3

Substituindo r=9,cm e \frac{dr}{dt}=4,cm/s na expressão de \frac{dV}{dt}, vem
\frac{dV}{dt} = 4\pi \times (9)^2 \times 4 = 4\pi \times 81 \times 4 = 1296\pi.

Resposta

A taxa de variação do volume é \displaystyle 1296\pi,c m^{3}/s.

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