Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 1 / 2} \frac{4 x^{2}-6 x+3}{16 x^{3}+8 x-7}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 1/2} \frac{4x^{2}-6x+3}{16x^{3}+8x-7}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio 4x^{2}-6x+3.
  • O denominador é o polinômio 16x^{3}+8x-7.
    Objetivo: encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 1/2.

Passo 2

Princípio útil (explicado de forma simples):
  • Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isso significa que, para um polinômio p(x),
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
  • Além disso, se \lim_{x\to a} g(x)\neq 0, vale a propriedade do quociente:
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}.
Em palavras: podemos calcular os limites do numerador e do denominador separadamente e dividir, desde que o limite do denominador não seja zero. Isso é direto das propriedades de soma, produto e quociente de limites.

Passo 3

Calcular o limite do numerador usando continuidade (substituição direta em passos):
Calcular 4x^{2} em x=1/2:
4\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=4\cdot\tfrac{1}{4}=1.
Calcular -6x em x=1/2:
-6\cdot\tfrac{1}{2}=-3.
Somar todos os termos do numerador em x=1/2:
1 + (-3) + 3 = 1.
Portanto
\lim_{x\to 1/2} \bigl(4x^{2}-6x+3\bigr)=1.

Passo 4

Calcular o limite do denominador em x=1/2 também por substituição direta:
Calcular 16x^{3} em x=1/2:
16\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}=16\cdot\tfrac{1}{8}=2.
Calcular 8x em x=1/2:
8\cdot\tfrac{1}{2}=4.
Somar os termos do denominador em x=1/2:
2 + 4 - 7 = -1.
Portanto
\lim_{x\to 1/2} \bigl(16x^{3}+8x-7\bigr)=-1.

Passo 5

Como o limite do denominador é diferente de zero (obtivemos -1), podemos aplicar a propriedade do quociente de limites:
\lim_{x\to 1/2} \frac{4x^{2}-6x+3}{16x^{3}+8x-7} =\frac{\lim_{x\to 1/2}(4x^{2}-6x+3)}{\lim_{x\to 1/2}(16x^{3}+8x-7)} =\frac{1}{-1}.

Resposta

-1

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