Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}^{2} x}{1-\cos x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}^{2}x}{1-\cos x}.
  • A variável x tende a 0.
  • A expressão envolve as funções trigonométricas tangente e cosseno: \operatorname{tg}x é a mesma coisa que \tan x, e \cos x é o cosseno de x.

Passo 2

Converter \operatorname{tg}^{2}x em funções seno e cosseno para manipular melhor:
  • Lembre que \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Aqui \sin x é o seno de x e \cos x o cosseno.
  • Logo
\frac{\operatorname{tg}^{2}x}{1-\cos x} = \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\cdot\frac{1}{1-\cos x}.

Passo 3

Usar a identidade do cosseno em função do seno do semi-ângulo:
  • A identidade de ângulo duplo diz \cos x = 1-2\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
  • Reescrevendo, obtemos a fórmula útil
1-\cos x = 2\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
  • Aqui \sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right) é o seno de x/2.

Passo 4

Também expressar \sin x pelo semi-ângulo:
  • A identidade de produto é \sin x = 2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
  • Elevando ao quadrado:
\sin^{2}x = 4\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right).

Passo 5

Substituir as expressões da Passo 2, Passo 3 e Passo 4 e simplificar:
\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\cdot\frac{1}{1-\cos x} = \frac{4\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\cos^{2}x}\cdot\frac{1}{2\sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}.
Agora cancelar \sin^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right) e simplificar os fatores numéricos:
= \frac{4\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{2\cos^{2}x} = 2\cdot\frac{\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\cos^{2}x}.

Passo 6

Calcular o limite do fator restante usando continuidade do cosseno:
  • A função \cos t é contínua em t=0, logo \displaystyle \lim_{x\to0}\cos x=\cos 0=1 e \displaystyle \lim_{x\to0}\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)=\cos 0=1.
  • Portanto
\lim_{x\to0}2\cdot\frac{\cos^{2}\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\cos^{2}x} =2\cdot\frac{1^{2}}{1^{2}}=2.

Passo 7

Comentário extra (checagem alternativa, para fixar a ideia):
  • Usando pequenas aproximações clássicas quando x\to0: \tan x\sim x e 1-\cos x\sim \tfrac{x^{2}}{2}.
  • Então \dfrac{\tan^{2}x}{1-\cos x}\sim \dfrac{x^{2}}{x^{2}/2}=2, confirma o resultado anterior.

Resposta

2

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