Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede calcular o limite
. - A variável
tende a . - A expressão envolve as funções trigonométricas tangente e cosseno:
é a mesma coisa que , e é o cosseno de .
Passo 2
Converter
em funções seno e cosseno para manipular melhor:
- Lembre que
. Aqui é o seno de e o cosseno. - Logo
Passo 3
Usar a identidade do cosseno em função do seno do semi-ângulo:
- A identidade de ângulo duplo diz
. - Reescrevendo, obtemos a fórmula útil
- Aqui
é o seno de .
Passo 4
Também expressar
pelo semi-ângulo:
- A identidade de produto é
. - Elevando ao quadrado:
Passo 5
Substituir as expressões da Passo 2, Passo 3 e Passo 4 e simplificar:
Agora cancelar
e simplificar os fatores numéricos:
Passo 6
Calcular o limite do fator restante usando continuidade do cosseno:
- A função
é contínua em , logo e . - Portanto
Passo 7
Comentário extra (checagem alternativa, para fixar a ideia):
- Usando pequenas aproximações clássicas quando
: e . - Então
, confirma o resultado anterior.