Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\operatorname{tg} x-1}{1-\operatorname{cotg} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\operatorname{tg} x - 1}{1 - \operatorname{cotg} x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O ponto de aproximação é x \to \dfrac{\pi}{4}.
  • Conhecimentos trigonométricos úteis (valores notáveis):
    • \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1.
    • \operatorname{cotg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1.
      Esses fatos mostram que numerador e denominador tendem a zero quando x \to \dfrac{\pi}{4}, então a forma é uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Relembre a identidade trigonométrica entre tangente e cotangente:
\operatorname{cotg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x},
porque \operatorname{cotg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x} e \operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x}, logo \operatorname{cotg} x = 1/\operatorname{tg} x. Essa relação nos permite reescrever o limite usando apenas \operatorname{tg} x.

Passo 3

Substituindo \operatorname{cotg} x = \dfrac{1}{\operatorname{tg} x} no denominador e simplificando:
\frac{\operatorname{tg} x - 1}{1 - \operatorname{cotg} x} = \frac{\operatorname{tg} x - 1}{1 - \dfrac{1}{\operatorname{tg} x}}.
Para evitar frações dentro de frações, multiplica-se numerador e denominador por \operatorname{tg} x (válido para x tal que \operatorname{tg} x \neq 0; isso não afeta o limite pois fazemos a operação numa vizinhança de \dfrac{\pi}{4} excluindo o ponto):
\frac{\operatorname{tg} x - 1}{1 - \dfrac{1}{\operatorname{tg} x}} \cdot \frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x} = \frac{\operatorname{tg} x(\operatorname{tg} x - 1)}{\operatorname{tg} x - 1}.

Passo 4

Cancele \operatorname{tg} x - 1 (válido para x onde \operatorname{tg} x \neq 1; novamente, isso está ok para analisar o limite porque consideramos x próximos de \dfrac{\pi}{4} mas distintos deste ponto). Assim, para x próximo de \dfrac{\pi}{4} e x \neq \dfrac{\pi}{4},
\frac{\operatorname{tg} x - 1}{1 - \operatorname{cotg} x} = \operatorname{tg} x.
Portanto o limite da expressão original, quando existe, é o mesmo que o limite de \operatorname{tg} x quando x \to \dfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Usando a continuidade da função \operatorname{tg} x em x=\dfrac{\pi}{4} (continua porque \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\neq 0), podemos simplesmente avaliar:
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \operatorname{tg} x = \operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Assim o limite procurado vale 1.

Resposta

1

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