Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O ponto de aproximação é
. - Conhecimentos trigonométricos úteis (valores notáveis):
-
. -
.
Esses fatos mostram que numerador e denominador tendem a zero quando, então a forma é uma indeterminação do tipo .
-
Passo 2
Relembre a identidade trigonométrica entre tangente e cotangente:
porque
e
, logo
. Essa relação nos permite reescrever o limite usando apenas
.
Passo 3
Substituindo
no denominador e simplificando:
Para evitar frações dentro de frações, multiplica-se numerador e denominador por
(válido para
tal que
; isso não afeta o limite pois fazemos a operação numa vizinhança de
excluindo o ponto):
Passo 4
Cancele
(válido para
onde
; novamente, isso está ok para analisar o limite porque consideramos
próximos de
mas distintos deste ponto). Assim, para
próximo de
e
,
Portanto o limite da expressão original, quando existe, é o mesmo que o limite de
quando
.
Passo 5
Usando a continuidade da função
em
(continua porque
), podemos simplesmente avaliar:
Assim o limite procurado vale
.
Resposta
1