Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)^{2}}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a 3:
\lim_{x\to 3} \frac{(x-3)^{2}}{x-3}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é a razão de duas funções que envolvem o fator (x-3).
  • O ponto de interesse é x=3, onde o denominador se anula (ou seja, a expressão não está definida exatamente em x=3).

Passo 2

Verificar substituição direta: se eu substituir x=3 diretamente na expressão, obtenho
\frac{(3-3)^{2}}{3-3}=\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição direta; é preciso manipular a expressão algebricamente ou usar propriedades de limites.

Passo 3

Lembrar uma propriedade útil (explicada de forma simples):
  • Se duas funções são iguais para todos os x em um vizinhança de a, exceto possivelmente em x=a, então elas têm o mesmo limite quando x\to a.
    Também é útil recordar que para x\neq 3 podemos fatorar e simplificar expressões algébricas normalmente.

Passo 4

Fatorar o numerador e cancelar o fator comum (válido para x\neq 3):
\frac{(x-3)^{2}}{x-3}=\frac{(x-3)(x-3)}{x-3} \quad\text{para } x\neq 3.
Cancelando o fator x-3 (já que estamos considerando x próximos de 3 mas diferentes de 3), obtemos a função equivalente
\frac{(x-3)^{2}}{x-3}=x-3 \quad\text{quando } x\neq 3.
Pela propriedade mencionada, essa simplificação permite calcular o limite usando a função x-3.

Passo 5

Calcular o limite da função simplificada. A função x-3 é um polinômio (função contínua), então o limite quando x\to 3 é dado pela substituição direta:
\lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0.

Passo 6

Interpretação final e verificação: a indeterminação inicial foi resolvida pela simplificação algébrica; o limite existe e vale 0. Dá para entender intuitivamente: para x muito próximo de 3, (x-3)^{2}/(x-3) comporta-se como x-3, que tende a 0.

Resposta

0

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