Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
se aproxima de
da função
Informações dadas e observações iniciais (tiradas diretamente do enunciado):
- A função em questão é
. - O radicando é
. Para que a raiz quarta seja real, é necessário , ou seja . - Portanto a função está definida apenas no intervalo
; logo a aproximação a só faz sentido pelo lado esquerdo (aproximação por valores ). Em termos práticos, vamos tratar o limite como limite lateral pela esquerda: . - O que se pede: calcular
.
Passo 2
Estratégia de resolução (sem calcular ainda): uma técnica útil é fatorar
para separar um fator que tende a zero de outros fatores que tendem a números finitos. Depois usaremos propriedades de limites (limite do produto = produto dos limites, quando os limites envolvidos existem e são finitos) ou o argumento de que um fator que tende a zero anula o produto se os outros fatores ficam limitados.
Vou aplicar a fatoração
e reescrever a expressão dentro da raiz quarta como produto de fatores cujos limites são fáceis de avaliar.
Passo 3
Reescrevendo a função usando a fatoração mencionada:
Como a raiz quarta é multiplicativa para fatores não negativos,
Passo 4
Agora vamos analisar o comportamento de cada fator quando
:
-
, porque a função identidade é contínua. -
, pois e a função é contínua em . -
: aqui quando . A raiz quarta de algo que tende a tende a . Assim
Passo 5
Como escrevemos a expressão como produto de três fatores e cada um tem limite (os dois primeiros têm limite finito não nulo, o terceiro tende a zero), aplicamos a propriedade de limites do produto (ou o argumento de que um fator que tende a zero anula o produto se os demais permanecem limitados). Portanto
Substituindo os valores:
Passo 6
Comentário final e alternativa curta (pra você levar pra prova): a raiz vai a zero porque
e o fator
vai a zero; os outros fatores ficam próximos de constantes finitas, então o produto tende a zero. Isso evita cálculos complicados e é uma técnica útil sempre que aparecer uma raiz que vai a zero.