Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 3} x \sqrt[4]{9-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x se aproxima de 3 da função
x\sqrt[4]{9-x^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais (tiradas diretamente do enunciado):
  • A função em questão é f(x)=x\sqrt[4]{9-x^{2}}.
  • O radicando é 9-x^{2}. Para que a raiz quarta seja real, é necessário 9-x^{2}\ge 0, ou seja -3\le x\le 3.
  • Portanto a função está definida apenas no intervalo [-3,3]; logo a aproximação a x=3 só faz sentido pelo lado esquerdo (aproximação por valores \le 3). Em termos práticos, vamos tratar o limite como limite lateral pela esquerda: \lim_{x\to 3^-}.
  • O que se pede: calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3} x\sqrt[4]{9-x^{2}}.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem calcular ainda): uma técnica útil é fatorar 9-x^{2} para separar um fator que tende a zero de outros fatores que tendem a números finitos. Depois usaremos propriedades de limites (limite do produto = produto dos limites, quando os limites envolvidos existem e são finitos) ou o argumento de que um fator que tende a zero anula o produto se os outros fatores ficam limitados.
Vou aplicar a fatoração
9-x^{2}=(3-x)(3+x),
e reescrever a expressão dentro da raiz quarta como produto de fatores cujos limites são fáceis de avaliar.

Passo 3

Reescrevendo a função usando a fatoração mencionada:
x\sqrt[4]{9-x^{2}}=x\sqrt[4]{(3-x)(3+x)}.
Como a raiz quarta é multiplicativa para fatores não negativos,
x\sqrt[4]{(3-x)(3+x)}=x\sqrt[4]{3-x}\,\sqrt[4]{3+x}.

Passo 4

Agora vamos analisar o comportamento de cada fator quando x\to 3^-:
  • \displaystyle \lim_{x\to 3^-} x = 3, porque a função identidade é contínua.
  • \displaystyle \lim_{x\to 3^-} \sqrt[4]{3+x}=\sqrt[4]{3+3}=\sqrt[4]{6}, pois 3+x\to 6 e a função t\mapsto \sqrt[4]{t} é contínua em t=6.
  • \displaystyle \lim_{x\to 3^-} \sqrt[4]{3-x}: aqui 3-x\to 0^+ quando x\to 3^-. A raiz quarta de algo que tende a 0^+ tende a 0. Assim
\lim_{x\to 3^-}\sqrt[4]{3-x}=0.

Passo 5

Como escrevemos a expressão como produto de três fatores e cada um tem limite (os dois primeiros têm limite finito não nulo, o terceiro tende a zero), aplicamos a propriedade de limites do produto (ou o argumento de que um fator que tende a zero anula o produto se os demais permanecem limitados). Portanto
\lim_{x\to 3^-} x\sqrt[4]{9-x^{2}} =\left(\lim_{x\to 3^-} x\right)\!\left(\lim_{x\to 3^-}\sqrt[4]{3+x}\right)\!\left(\lim_{x\to 3^-}\sqrt[4]{3-x}\right).
Substituindo os valores:
=3\cdot \sqrt[4]{6}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Comentário final e alternativa curta (pra você levar pra prova): a raiz vai a zero porque 9-x^{2}=(3-x)(3+x) e o fator (3-x) vai a zero; os outros fatores ficam próximos de constantes finitas, então o produto tende a zero. Isso evita cálculos complicados e é uma técnica útil sempre que aparecer uma raiz que vai a zero.

Resposta

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