Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites:: \lim _{x \rightarrow 5}\left(\sqrt{x^{2}-25}+3\right)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite \lim_{x\to 5}\big(\sqrt{x^{2}-25}+3\big).
As informações dadas são a expressão dentro do limite: \sqrt{x^{2}-25}+3. Observação importante sobre domínio: a raiz quadrada exige x^{2}-25\ge 0, ou seja x\le -5 ou x\ge 5. Portanto, perto de x=5 só existem pontos da função com x\ge 5 (não há valores da função para x estritamente menores que 5 e próximos de 5).
Passo 2
Lembrete útil sobre propriedades de limites (mini-aula): se dois limites existem, então o limite da soma é a soma dos limites:
\text{se }\lim_{x\to a}u(x)=U\text{ e }\lim_{x\to a}v(x)=V,\text{ então }\lim_{x\to a}\big(u(x)+v(x)\big)=U+V.
Também usamos que polinômios são funções contínuas, portanto \lim_{x\to a}x^{2}=a^{2}. E a função \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty): se t_n\to t\ge 0 então \sqrt{t_n}\to\sqrt{t}. Essas propriedades permitem trocar limite e composição quando os argumentos ficam no domínio apropriado.
Passo 3
Calcular internamente o que acontece em x=5:
x^{2}-25\big|_{x=5}=5^{2}-25=25-25=0.
Logo o valor dentro da raiz tende para 0 quando x\to 5.
Passo 4
Aplicando as propriedades explicadas: primeiro a função interna x^{2}-25 tem limite
\lim_{x\to 5}(x^{2}-25)=5^{2}-25=0,
pela continuidade do polinômio. Como esse limite é 0\ge 0, podemos aplicar a continuidade da raiz em [0,\infty) e obter
Comentário sobre sentido do limite: como a função só está definida para x\ge 5 (no entorno direito de 5), o limite é realmente o limite à direita \lim_{x\to 5^+}, que é 3. Como não há valores da função para x<5 próximos de 5, não há outra contribuição que contrarie esse valor, e portanto o limite (no sentido usual considerando pontos do domínio) vale 3.