Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 5}\left(\sqrt{x^{2}-25}+3\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 5}\big(\sqrt{x^{2}-25}+3\big).
As informações dadas são a expressão dentro do limite: \sqrt{x^{2}-25}+3. Observação importante sobre domínio: a raiz quadrada exige x^{2}-25\ge 0, ou seja x\le -5 ou x\ge 5. Portanto, perto de x=5 só existem pontos da função com x\ge 5 (não há valores da função para x estritamente menores que 5 e próximos de 5).

Passo 2

Lembrete útil sobre propriedades de limites (mini-aula): se dois limites existem, então o limite da soma é a soma dos limites:
\text{se }\lim_{x\to a}u(x)=U\text{ e }\lim_{x\to a}v(x)=V,\text{ então }\lim_{x\to a}\big(u(x)+v(x)\big)=U+V.ã
Também usamos que polinômios são funções contínuas, portanto \lim_{x\to a}x^{2}=a^{2}. E a função \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty): se t_n\to t\ge 0 então \sqrt{t_n}\to\sqrt{t}. Essas propriedades permitem trocar limite e composição quando os argumentos ficam no domínio apropriado.

Passo 3

Calcular internamente o que acontece em x=5:
x^{2}-25\big|_{x=5}=5^{2}-25=25-25=0.
Logo o valor dentro da raiz tende para 0 quando x\to 5.

Passo 4

Aplicando as propriedades explicadas: primeiro a função interna x^{2}-25 tem limite
\lim_{x\to 5}(x^{2}-25)=5^{2}-25=0,
pela continuidade do polinômio. Como esse limite é 0\ge 0, podemos aplicar a continuidade da raiz em [0,\infty) e obter
\lim_{x\to 5}\sqrt{x^{2}-25}=\sqrt{\lim_{x\to 5}(x^{2}-25)}=\sqrt{0}=0.

Passo 5

Agora use a propriedade da soma de limites: a constante 3 tem limite 3. Portanto
\lim_{x\to 5}\big(\sqrt{x^{2}-25}+3\big)=\lim_{x\to 5}\sqrt{x^{2}-25}+\lim_{x\to 5}3=0+3=3.
Comentário sobre sentido do limite: como a função só está definida para x\ge 5 (no entorno direito de 5), o limite é realmente o limite à direita \lim_{x\to 5^+}, que é 3. Como não há valores da função para x<5 próximos de 5, não há outra contribuição que contrarie esse valor, e portanto o limite (no sentido usual considerando pontos do domínio) vale 3.

Resposta

3

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