Calcule os limites abaixo usando as propriedades dos limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
, ou seja, tende a valores muito negativos. - Para
vale a identidade do valor absoluto . Como estamos indo para , a região relevante tem , então podemos usar .
Passo 2
Aplicar a propriedade do valor absoluto para
: substituir
nas partes que aparecem na expressão.
Substituindo nas duas partes temos:
Substituindo nas duas partes temos:
e
Passo 3
Calcular as simplificações feitas no passo anterior:
Portanto, para todo
(e
) a expressão original é igual a
Passo 4
Simplificar a fração
. Como
quando nos aproximamos de
, pode-se cancelar
:
Ou seja, a expressão é igual à constante
para todos os
suficientemente negativos.
Passo 5
Concluir o limite usando propriedades de limite: se uma função é igual a uma constante em todo um intervalo que contém valores arbitrariamente grandes e negativos, o limite quando
é essa constante. Assim,
Observação didática rápida: se tivessemos
a substituição seria
e a expressão daria
, mostrando como o sinal do
muda o resultado por causa do valor absoluto.