Calcule os limites abaixo usando as propriedades dos limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x+5|x|}{5 x-|x|}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5|x|}{5x-|x|}
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é \dfrac{3x+5|x|}{5x-|x|}.
  • O ponto de interesse é x\to -\infty, ou seja, x tende a valores muito negativos.
  • Para x<0 vale a identidade do valor absoluto |x|=-x. Como estamos indo para -\infty, a região relevante tem x<0, então podemos usar |x|=-x.

Passo 2

Aplicar a propriedade do valor absoluto para x<0: substituir |x|=-x nas partes que aparecem na expressão.
Substituindo nas duas partes temos:
3x+5|x| = 3x+5(-x)
e
5x-|x| = 5x-(-x).

Passo 3

Calcular as simplificações feitas no passo anterior:
3x+5(-x)=3x-5x=-2x,
5x-(-x)=5x+x=6x.
Portanto, para todo x<0 (e x\neq 0) a expressão original é igual a
\frac{3x+5|x|}{5x-|x|}=\frac{-2x}{6x}.

Passo 4

Simplificar a fração \dfrac{-2x}{6x}. Como x\neq 0 quando nos aproximamos de -\infty, pode-se cancelar x:
\frac{-2x}{6x}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}.
Ou seja, a expressão é igual à constante -\dfrac{1}{3} para todos os x suficientemente negativos.

Passo 5

Concluir o limite usando propriedades de limite: se uma função é igual a uma constante em todo um intervalo que contém valores arbitrariamente grandes e negativos, o limite quando x\to -\infty é essa constante. Assim,
\lim_{x\to -\infty}\frac{3x+5|x|}{5x-|x|}=-\frac{1}{3}.
Observação didática rápida: se tivessemos x\to +\infty a substituição seria |x|=x e a expressão daria \dfrac{3x+5x}{5x-x}=\dfrac{8x}{4x}=2, mostrando como o sinal do x muda o resultado por causa do valor absoluto.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

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