Dadas as funções abaixo (onde x_{0}, w e \theta_{0} são constantes), determine suas derivadas, em relação ao seu argumento.
f(t)=x_{0} \cos \left(w t+\theta_{0}\right) e^{-w t}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=x_{0}\cos\bigl(wt+\theta_{0}\bigr)\,e^{-wt},
onde x_{0}, w e \theta_{0} são constantes, e pede \tfrac{df}{dt}. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Definimos
u(t)=x_{0}\cos\bigl(wt+\theta_{0}\bigr), \quad v(t)=e^{-wt}
de modo que f(t)=u(t)\,v(t). A regra do produto diz que
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).

Passo 3

Calculamos u'(t) usando a regra da cadeia:
u'(t) =x_{0}\,\frac{d}{dt}\Bigl[\cos(wt+\theta_{0})\Bigr] =x_{0}\bigl[-\sin(wt+\theta_{0})\bigr]\cdot\frac{d}{dt}(wt+\theta_{0}) =-x_{0}\,w\,\sin\bigl(wt+\theta_{0}\bigr).

Passo 4

Calculamos v'(t) conhecendo a derivada da exponencial:
v'(t) =\frac{d}{dt}\bigl[e^{-wt}\bigr] =e^{-wt}\cdot\frac{d}{dt}(-wt) =-w\,e^{-wt}.

Passo 5

Substituindo em f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t):
f'(t) =\bigl[-x_{0}w\sin(wt+\theta_{0})\bigr]\,e^{-wt} +\bigl[x_{0}\cos(wt+\theta_{0})\bigr]\bigl[-w\,e^{-wt}\bigr].
Fatorando -w\,x_{0}\,e^{-wt}:
f'(t) =-w\,x_{0}\,e^{-wt}\Bigl[\sin(wt+\theta_{0})+\cos(wt+\theta_{0})\Bigr].

Resposta

f'(t) =-w\,x_{0}\,e^{-wt}\Bigl[\sin(wt+\theta_{0})+\cos(wt+\theta_{0})\Bigr].

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