Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin (4 x) \sin (3 x)}{x \sin (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(4x)\,\sin(3x)}{x\,\sin(2x)}.
O conteúdo a usar é a regra de L’Hôpital, pois a substituição direta leva à forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Substituindo x=\tfrac{\pi}{2} diretamente:
Numerador:
\sin\bigl(4\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)\,\sin\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\sin(2\pi)\,\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =0\cdot(-1)=0.
Denominador:
\tfrac{\pi}{2}\,\sin\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\tfrac{\pi}{2}\,\sin(\pi) =\tfrac{\pi}{2}\cdot0=0.
Portanto temos \tfrac{0}{0} e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos o numerador \sin(4x)\,\sin(3x) pelo produto:
\bigl(\sin(4x)\,\sin(3x)\bigr)' =4\cos(4x)\,\sin(3x)+3\sin(4x)\,\cos(3x).
Em x=\tfrac{\pi}{2}: \cos(4x)=\cos(2\pi)=1, \sin(3x)=\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1, \sin(4x)=\sin(2\pi)=0.
Logo a derivada vale
4\cdot1\cdot(-1)+3\cdot0\cdot\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =-4.

Passo 4

Derivamos o denominador x\,\sin(2x) pelo produto:
\bigl(x\,\sin(2x)\bigr)' =\sin(2x)+2x\cos(2x).
Em x=\tfrac{\pi}{2}: \sin(2x)=\sin(\pi)=0, \cos(2x)=\cos(\pi)=-1.
Assim a derivada vale
0 + 2\cdot\tfrac{\pi}{2}\cdot(-1) =-\pi.

Passo 5

Pela regra de L’Hôpital, o limite é o quociente das derivadas:
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin(4x)\,\sin(3x)}{x\,\sin(2x)} =\frac{-4}{-\pi} =\frac{4}{\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{\pi}

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