(Valor até 4 pts.) Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por C=\left\{(x, y) \in I R^{2} ; x^{2}+y^{2}=4, y \geq 1\right\}.
(a) Obtenha uma parametrização para a curva C. Diga qual a orientação da curva C obtida.
(b) Encontre a equação da reta tangente a curva no ponto (0,2)
(c) Calcule o espaço percorrido pela partícula.

Passo 1

A questão trata de uma partícula que se move ao longo do arco do círculo de raio 2 centro na origem, definido por
x^{2}+y^{2}=4,\quad y\ge1.
O conteúdo envolve: parametrização de curvas no plano com funções trigonométricas, derivada do vetor posição para obter a reta tangente e aplicação da fórmula de comprimento de arco para calcular o espaço percorrido.

Passo 2

Para parametrizar usamos
x(t)=2\cos t,\quad y(t)=2\sin t.
Como y\ge1 implica \sin t\ge\tfrac12, escolhemos
t\in\bigl[\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{5\pi}{6}\bigr].
Com t crescente a curva vai de \bigl(2\cos(\tfrac{\pi}{6}),2\sin(\tfrac{\pi}{6})\bigr)=(\sqrt{3},1)
até \bigl(2\cos(\tfrac{5\pi}{6}),2\sin(\tfrac{5\pi}{6})\bigr)=(-\sqrt{3},1),
isto é, sentido anti-horário de (\sqrt{3},1) para (-\sqrt{3},1).

Passo 3

O vetor posição é
\mathbf{r}(t)=\bigl(2\cos t,\,2\sin t\bigr),
logo
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-2\sin t,\,2\cos t\bigr).
No ponto (0,2) temos 2\cos t=0 e 2\sin t=2, isto é t_{0}=\tfrac{\pi}{2}. Logo
\mathbf{r}'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-2\cdot1,\;2\cdot0)=(-2,0),
que é um vetor horizontal. A reta tangente em (0,2) tem inclinação 0 e passe por (0,2), portanto y=2.

Passo 4

O comprimento de arco é
s=\int_{t=\pi/6}^{5\pi/6}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\;dt =\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}}\;dt =\int_{\pi/6}^{5\pi/6}2\;dt =2\Bigl(\tfrac{5\pi}{6}-\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =\tfrac{4\pi}{3}.

Resposta

(a) Uma parametrização é
x(t)=2\cos t,\quad y(t)=2\sin t,\quad t\in\bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\bigr],
com orientação anti-horária de (\sqrt{3},1) para (-\sqrt{3},1).
(b) A reta tangente em (0,2) é y=2.
(c) O espaço percorrido (comprimento do arco) é \tfrac{4\pi}{3}.

Exercícios relacionados