Obtenha a segunda forma quadrática e a função curvatura normal das seguintes superficies:
Superfície de rotação X(u, v)=(f(u) \cos v, f(u) \operatorname{sen} v, g(u)).

Passo 1

O enunciado pede a segunda forma quadrática e a função curvatura normal da superfície de revolução
X(u,v)=\bigl(f(u)\cos v,\;f(u)\sin v,\;g(u)\bigr)\,.
O conteúdo envolvido é geometria diferencial de superfícies: vamos precisar de
  1. vetores tangentes X_u,X_v,
  2. primeiros coeficientes E,F,G da primeira forma fundamental,
  3. normal unitário N,
  4. coeficientes e,f,g da segunda forma fundamental,
  5. expressão de curvatura normal \displaystyle k_n=\frac{II(v,v)}{I(v,v)}.

Passo 2

Calculemos primeiro os vetores tangentes e os coeficientes da primeira forma:
X_u=(f'(u)\cos v,\;f'(u)\sin v,\;g'(u)),\quad X_v=(-f(u)\sin v,\;f(u)\cos v,\;0).
Logo
E=\langle X_u,X_u\rangle=f'(u)^2+g'(u)^2,\quad F=\langle X_u,X_v\rangle=0,\quad G=\langle X_v,X_v\rangle=f(u)^2.

Passo 3

O vetor normal não unitário é
X_u\times X_v =\bigl(-g'(u)\,f(u)\cos v,\;-g'(u)\,f(u)\sin v,\;f'(u)\,f(u)\bigr).
Seu módulo é \sqrt{E}\,f(u). Portanto o normal unitário é
N=\frac{1}{f(u)\sqrt{E}}\bigl(-g'\,f\cos v,\;-g'\,f\sin v,\;f'\,f\bigr) =\frac{1}{\sqrt{E}}\bigl(-g'\cos v,\;-g'\sin v,\;f'\bigr).

Passo 4

Agora precisamos de X_{uu}, X_{uv} e X_{vv}:
X_{uu}=(f''\cos v,\;f''\sin v,\;g''),\quad X_{uv}=(-f'\sin v,\;f'\cos v,\;0),\quad X_{vv}=(-f\cos v,\;-f\sin v,\;0).
Os coeficientes da segunda forma são
e=\langle X_{uu},N\rangle =\frac{f''\,g'-g''\,f'}{\sqrt{E}},\quad f=\langle X_{uv},N\rangle=0,\quad g=\langle X_{vv},N\rangle =\frac{-f\,g'}{\sqrt{E}}.

Passo 5

A segunda forma quadrática é
II=e\,du^2+2f\,du\,dv+g\,dv^2 =\frac{f''g'-g''f'}{\sqrt{E}}\,du^2 -\frac{f\,g'}{\sqrt{E}}\,dv^2.
Para uma direção genérica dada por dv/d u=p, a curvatura normal vale
k_n =\frac{e+g\,p^2}{E+G\,p^2} =\frac{\displaystyle\frac{f''g'-g''f'}{\sqrt{E}} -\displaystyle\frac{f\,g'}{\sqrt{E}}\,p^2} {\displaystyle E+f^2\,p^2}.
Em termos do ângulo \theta medido em relação à linha meridiana, fica a forma clássica
k_n =\kappa_{\rm mer}\cos^2\theta+\kappa_{\rm par}\sin^2\theta,
onde
\kappa_{\rm mer}=\frac{f''g'-g''f'}{(f'^2+g'^2)^{3/2}},\quad \kappa_{\rm par}=\frac{g'}{f\sqrt{f'^2+g'^2}}.

Resposta

A segunda forma quadrática é
II=\frac{f''g'-g''f'}{\sqrt{f'^2+g'^2}}\,du^2 -\frac{f\,g'}{\sqrt{f'^2+g'^2}}\,dv^2,
e a curvatura normal para direção dv/du=p é
k_n =\frac{\displaystyle\frac{f''g'-g''f'}{\sqrt{f'^2+g'^2}} -\displaystyle\frac{f\,g'}{\sqrt{f'^2+g'^2}}\,p^2} {\displaystyle f'^2+g'^2+f^2\,p^2}.
Equivalente à forma em ângulo
k_n =\frac{f''g'-g''f'}{(f'^2+g'^2)^{3/2}}\cos^2\theta +\frac{g'}{f\sqrt{f'^2+g'^2}}\sin^2\theta.

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