Obtenha a segunda forma quadrática e a função curvatura normal das seguintes superficies:
Superfície de rotação
.
Superfície de rotação
Passo 1
O enunciado pede a segunda forma quadrática e a função curvatura normal da superfície de revolução
O conteúdo envolvido é geometria diferencial de superfícies: vamos precisar de
- vetores tangentes
, - primeiros coeficientes
da primeira forma fundamental, - normal unitário
, - coeficientes
da segunda forma fundamental, - expressão de curvatura normal
.
Passo 2
Calculemos primeiro os vetores tangentes e os coeficientes da primeira forma:
Logo
Passo 3
O vetor normal não unitário é
Seu módulo é
. Portanto o normal unitário é
Passo 4
Agora precisamos de
,
e
:
Os coeficientes da segunda forma são
Passo 5
A segunda forma quadrática é
Para uma direção genérica dada por
, a curvatura normal vale
Em termos do ângulo
medido em relação à linha meridiana, fica a forma clássica
onde
Resposta
A segunda forma quadrática é
e a curvatura normal para direção
é
Equivalente à forma em ângulo