Exercício 6.4 Calcule \iint_{\sigma} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, em que \sigma é a superfície
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}
e \vec{n} é a normal que aponta para fora.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{\sigma} \bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)\cdot \vec{n}\,dS
onde \sigma é a esfera unitária x^2 + y^2 + z^2 = 1 com a normal apontando para fora. Para aplicar qualquer teorema (por exemplo, a forma de Gauss–Ostrogradsky ou de Stokes), precisamos conhecer a expressão de \vec{F}(x,y,z).

Passo 2

O exercício não fornece a forma explícita do campo vetorial \vec{F}. Sem essa informação, não há como computar \nabla\times \vec{F} nem avaliar o fluxo desse rotor através da superfície.

Resposta

Não é possível resolver porque o enunciado não dá a expressão de \vec{F}.

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