Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede calcular
e notamos que ao aproximar
tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, caracterizando uma forma indeterminada
. Para este tipo de limite, vamos usar a Regra de L’Hospital, que diz que
sempre que existir a forma
ou
e as derivadas existirem.
Passo 2
Identificamos
Ao avaliar em
:
e
.
Logo, é caso de e podemos aplicar L’Hospital.
Logo, é caso de
Passo 3
Derivamos numerador e denominador uma vez:
O limite passa a ser
Passo 4
Avaliar diretamente em
ainda dá indeterminação:
e
.
Temos novamente , então aplicamos L’Hospital pela segunda vez.
Temos novamente
Passo 5
Derivando de novo numerador e denominador:
Assim o limite fica