Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L’Hospital.
(2015-1) \lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\ln (\operatorname{sen} x)}{(\pi-2 x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to \pi/2} \frac{\ln(\sin x)}{(\pi-2x)^{2}},
e notamos que ao aproximar x\to\pi/2 tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, caracterizando uma forma indeterminada 0/0. Para este tipo de limite, vamos usar a Regra de L’Hospital, que diz que
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}
sempre que existir a forma 0/0 ou \infty/\infty e as derivadas existirem.

Passo 2

Identificamos
f(x)=\ln(\sin x), \qquad g(x)=(\pi-2x)^{2}.
Ao avaliar em x=\pi/2: \ln(\sin(\pi/2))=\ln(1)=0 e (\pi-2\cdot\frac\pi2)^{2}=0.
Logo, é caso de 0/0 e podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador uma vez:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\sin x)\bigr] =\frac{\cos x}{\sin x} =\cot x,
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[(\pi-2x)^{2}\bigr] =2(\pi-2x)\cdot(-2) =-4(\pi-2x).
O limite passa a ser
\lim_{x\to\pi/2}\frac{\cot x}{-4(\pi-2x)}.

Passo 4

Avaliar diretamente em x=\pi/2 ainda dá indeterminação: \cot(\pi/2)=0 e -4(\pi-2\cdot\frac\pi2)=0.
Temos novamente 0/0, então aplicamos L’Hospital pela segunda vez.

Passo 5

Derivando de novo numerador e denominador:
\frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^{2}x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl[-4(\pi-2x)\bigr]=8.
Assim o limite fica
\lim_{x\to\pi/2}\frac{-\csc^{2}x}{8} =\frac{-1}{8}\bigl(\csc(\tfrac\pi2)\bigr)^{2} =\frac{-1}{8}\cdot1 =-\frac{1}{8}.

Resposta

-\tfrac{1}{8}

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