Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L’Hospital.
(2016-1) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos ^{2}(x)-1}{e^{2 x}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
(2016-1)\lim_{x\to0}\frac{\cos^{2}(x)-1}{e^{2x}-1}
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo aqui é “limites de forma indeterminada 0/0” e vamos precisar verificar esse tipo de indeterminação e depois aplicar L’Hospital.

Passo 2

Verificamos a forma original substituindo x=0:
\cos^{2}(0)-1 = 1-1 = 0, \quad e^{2\cdot0}-1 = 1-1 = 0,
portanto é 0/0 e podemos usar L’Hospital.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital, diferenciando numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{2}(x)-1\bigr) =2\cos(x)\,(-\sin(x)) =-2\sin(x)\cos(x).
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}-1\bigr) =2e^{2x}.
Logo o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{-2\sin(x)\cos(x)}{2e^{2x}} =\lim_{x\to0}\frac{-\sin(x)\cos(x)}{e^{2x}}.

Passo 4

Agora basta avaliar em x=0:
-\frac{\sin(0)\cos(0)}{e^{0}} =-\frac{0\cdot1}{1} =0.
Logo
\lim_{x\to0}\frac{\cos^{2}(x)-1}{e^{2x}-1}=0.

Passo 5

Multiplicamos pelo fator externo (2016-1)=2015:
2015\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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