Questão 2 Determine uma equação geral do plano tangente e uma equação para a reta normal ao paraboloide elíptico
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá o paraboloide elíptico
e pede (a) a equação geral do plano tangente e (b) a reta normal a essa superfície no ponto
.
O conteúdo envolve derivadas parciais para obter o gradiente, que fornece a inclinação do plano tangente e a direção da reta normal.
O conteúdo envolve derivadas parciais para obter o gradiente, que fornece a inclinação do plano tangente e a direção da reta normal.
Passo 2
Trata-se de uma superfície dada explicitamente por
com
As derivadas parciais são
No ponto
temos
Passo 3
A equação do plano tangente em
usa a fórmula da linearização:
Substituindo
,
,
,
e
, obtém-se
Expandindo e rearranjando,
Em forma geral do plano:
Passo 4
A reta normal ao paraboloide em
tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente, que é
.
Uma forma paramétrica é
Uma forma paramétrica é
ou, em forma simétrica,
Resposta
Equação geral do plano tangente:
Equação paramétrica da reta normal: