Questão 2 Determine uma equação geral do plano tangente e uma equação para a reta normal ao paraboloide elíptico z=2 x^{2}+y^{2} no ponto P=(1,1,3).

Passo 1

O enunciado dá o paraboloide elíptico
z = 2x^2 + y^2
e pede (a) a equação geral do plano tangente e (b) a reta normal a essa superfície no ponto P=(1,1,3).
O conteúdo envolve derivadas parciais para obter o gradiente, que fornece a inclinação do plano tangente e a direção da reta normal.

Passo 2

Trata-se de uma superfície dada explicitamente por z=f(x,y) com
f(x,y)=2x^2+y^2.
As derivadas parciais são
f_x(x,y)=4x, \qquad f_y(x,y)=2y.
No ponto P=(1,1,3) temos
f_x(1,1)=4, \qquad f_y(1,1)=2.

Passo 3

A equação do plano tangente em P usa a fórmula da linearização:
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Substituindo x_0=1, y_0=1, z_0=3, f_x(1,1)=4 e f_y(1,1)=2, obtém-se
z - 3 = 4(x-1) + 2(y-1).
Expandindo e rearranjando,
z - 3 = 4x - 4 + 2y - 2 = 4x + 2y - 6 \quad\Longrightarrow\quad z = 4x + 2y - 3.
Em forma geral do plano:
4x + 2y - z - 3 = 0.

Passo 4

A reta normal ao paraboloide em P tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente, que é (4,2,-1).
Uma forma paramétrica é
\begin{cases} x = 1 + 4t,\\\ y = 1 + 2t,\\\ z = 3 - t, \end{cases}
ou, em forma simétrica,
\frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{-1}.

Resposta

Equação geral do plano tangente:
4x + 2y - z - 3 = 0.
Equação paramétrica da reta normal:
x=1+4t,\quad y=1+2t,\quad z=3 - t.

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