Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L’Hospital.
(2016-1) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to0^+}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{1/x} usando a regra de L’Hospital. Esse limite é do tipo indeterminado 1^\infty, então vamos usar o logaritmo para transformá-lo num quociente adequado.

Passo 2

Defina
L = \lim_{x\to0^+}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{1/x}.
Tomando logaritmo natural, obtemos
\ln L = \lim_{x\to0^+}\frac{\ln\bigl((1+e^x)/2\bigr)}{x}.
Aqui temos um caso 0/0, pois \ln((1+e^0)/2)=\ln1=0 e x\to0.

Passo 3

Aplique a regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl((1+e^x)/2\bigr)\Bigr] =\frac{e^x}{1+e^x}, \quad \frac{d}{dx}[x]=1.
Portanto,
\ln L =\lim_{x\to0^+}\frac{e^x/(1+e^x)}{1} =\frac{e^0}{1+e^0} =\frac12.

Passo 4

Como \ln L=\tfrac12, concluímos que
L = e^{\ln L} = e^{1/2} = \sqrt{e}.

Resposta

\sqrt{e}

Exercícios relacionados