Questão 4 Encontre os pontos e os valores de máximo e mínimo da função
no conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos da função
no conjunto elíptico
O conteúdo aqui é otimização de funções com restrição em conjunto fechado e limitado. Para resolver, vamos primeiro buscar pontos críticos na parte interna de
e depois examinar a fronteira usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Procuramos pontos críticos no interior, onde não atuam restrições ativas. Calculamos o gradiente de
:
Para ter
precisamos de
ou seja, o único ponto crítico interno é
, com valor
Passo 3
Na fronteira de
vale
Pelas condições de Lagrange, existe
tal que
Isto gera o sistema
Passo 4
Da primeira equação
(supondo
). Substituindo na segunda:
Substituindo
na restrição
obtemos
e então
conforme o sinal escolhido. Os pontos candidatos são
Passo 5
Agora avaliamos
nesses pontos:
Comparamos com
. Observamos que o valor máximo de
em
é
e o mínimo é
.
Resposta
Máximos de
:
e
.
Mínimos de :
e
.
Mínimos de