Questão 4 Encontre os pontos e os valores de máximo e mínimo da função f(x, y)=x y no conjunto B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2} / 2+y^{2} / 8 \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede os extremos da função
f(x,y)=x\,y
no conjunto elíptico
\;B=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \tfrac{x^2}{2}+\tfrac{y^2}{8}\le1\bigr\}.
O conteúdo aqui é otimização de funções com restrição em conjunto fechado e limitado. Para resolver, vamos primeiro buscar pontos críticos na parte interna de B e depois examinar a fronteira usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Procuramos pontos críticos no interior, onde não atuam restrições ativas. Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y) = \bigl(y,\;x\bigr).
Para ter \nabla f=0 precisamos de
y=0 \quad\text{e}\quad x=0,
ou seja, o único ponto crítico interno é (0,0), com valor
f(0,0)=0.

Passo 3

Na fronteira de B vale
g(x,y)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{8}-1=0.
Pelas condições de Lagrange, existe \lambda tal que
\nabla f(x,y) = \lambda\,\nabla g(x,y) \quad\Longrightarrow\quad (y,\,x) = \lambda\bigl(x,\;y/4\bigr).
Isto gera o sistema
y = \lambda x \quad\text{e}\quad x = \lambda\,\frac{y}{4}.

Passo 4

Da primeira equação \lambda = y/x (supondo x\neq0). Substituindo na segunda:
x = \frac{y}{x}\,\frac{y}{4} \;\Longrightarrow\; 4x^2 = y^2 \;\Longrightarrow\; y = \pm 2x.
Substituindo y=\pm2x na restrição x^2/2 + y^2/8=1 obtemos
\frac{x^2}{2} + \frac{(2x)^2}{8} = x^2 = 1 \;\Longrightarrow\; x=\pm1,
e então y=\pm2 conforme o sinal escolhido. Os pontos candidatos são
(1,2),\;(-1,-2)\quad\text{(caso }y=2x\text{)} \quad\text{e}\quad (1,-2),\;(-1,2)\quad\text{(caso }y=-2x\text{)}.

Passo 5

Agora avaliamos f nesses pontos:
f(1,2)=2,\quad f(-1,-2)=2, \quad f(1,-2)=-2,\quad f(-1,2)=-2.
Comparamos com f(0,0)=0. Observamos que o valor máximo de f em B é 2 e o mínimo é -2.

Resposta

Máximos de f: f(1,2)=2 e f(-1,-2)=2.
Mínimos de f: f(1,-2)=-2 e f(-1,2)=-2.

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