Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L’Hospital.
(2016-2) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\operatorname{cotg} x-\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
(2016 - 2)\,\lim_{x \to 0^{+}}\Bigl(\operatorname{cotg} x - \frac{1}{x}\Bigr)
ou seja, primeiro encontramos
L = \lim_{x \to 0^{+}}\Bigl(\operatorname{cotg} x - \frac{1}{x}\Bigr)
usando a Regra de L’Hospital e depois multiplicamos o resultado por 2016-2=2014.

Passo 2

Reescrevemos a diferença como uma única fração e verificamos que dá 0/0:
\operatorname{cotg} x - \frac{1}{x} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x\cos x - \sin x}{x\,\sin x}.
Como
\lim_{x\to 0^+}(x\cos x - \sin x)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^+}x\,\sin x=0,
é indeterminação do tipo 0/0. Aplicando L’Hospital uma vez:
L = \lim_{x\to 0^+}\frac{x\cos x - \sin x}{x\,\sin x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{d}{dx}[\,x\cos x - \sin x\,]}{\frac{d}{dx}[\,x\sin x\,]} = \lim_{x\to 0^+}\frac{-x\sin x}{\sin x + x\cos x},
pois derivamos numerador e denominador.

Passo 3

Ainda temos indeterminação 0/0 em \displaystyle \frac{-x\sin x}{\sin x + x\cos x}. Aplicando L’Hospital de novo:
L = \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{d}{dx}[-x\sin x]}{\frac{d}{dx}[\sin x + x\cos x]} = \lim_{x\to 0^+} \frac{-[\sin x + x\cos x]}{2\cos x - x\sin x} = \frac{-(0 + 0\cdot1)}{2\cdot1 - 0\cdot0} = 0.
Logo
\lim_{x \to 0^{+}}\Bigl(\operatorname{cotg} x - \frac{1}{x}\Bigr)=0.

Resposta

(2016-2)\,0 = 0.

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