Calcule os limites abaixo, usando a Regra de L’Hospital.
(2016-2) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{tg} x}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a Regra de L’Hospital, o valor de
(2016 - 2)\,\lim_{x\to 0}\frac{x - \tan x}{\sin x}.
Aqui o conteúdo é cálculo de limite em forma 0/0, e vamos precisar das derivadas de \tan x e de \sin x.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação em
L = \lim_{x\to0}\frac{x - \tan x}{\sin x}.
Quando x\to0 temos x\to0, \tan x\to0 e \sin x\to0, portanto é um caso 0/0. Podemos aplicar a Regra de L’Hospital: derivamos numerador e denominador em relação a x.

Passo 3

Derivada do numerador x - \tan x é
\frac{d}{dx}\bigl(x - \tan x\bigr) = 1 - \operatorname{sec}^2 x,
e a derivada do denominador \sin x é
\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x.
Pela Regra de L’Hospital,
L = \lim_{x\to0}\frac{1 - \operatorname{sec}^2 x}{\cos x}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=0: temos \operatorname{sec}^2(0)=1 e \cos(0)=1. Logo
1 - \operatorname{sec}^2(0) = 1 - 1 = 0,
e portanto
L = \frac{0}{1} = 0.

Passo 5

Restabelecendo o fator (2016-2)=2014, o valor pedido é
2014 \cdot L = 2014 \cdot 0 = 0.

Resposta

0

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