Calcule os limites abaixo usando as regras de LHospital:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite
usando a regra de L’Hospital. Aqui, vamos trabalhar com limites que envolvem frações e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar uma forma que permita usar a regra de L’Hospital. Vamos juntar as frações:
Passo 3
Agora, analisamos o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0 por valores positivos:
- Numerador:
(porque para pequeno) - Denominador:
Portanto, quando
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo
.
Passo 4
Como temos uma forma indeterminada
, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
(usando a regra do produto)
Passo 5
Substituímos as derivadas na expressão do limite:
Agora, avaliamos o limite novamente:
- Numerador:
- Denominador:
Então, a expressão agora está na forma
, o que indica que o limite tende ao infinito. Mais especificamente, como o denominador se aproxima de 0 positivo, o limite tende a
.
Resposta
O limite é
.