Calcule os limites abaixo usando as regras de LHospital:
lim x 0^+(1x^2-1sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite limx 0^+ ( 1x^2 - 1sin(x) ) usando a regra de L’Hospital. Aqui, vamos trabalhar com limites que envolvem frações e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou infty/infty.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar uma forma que permita usar a regra de L’Hospital. Vamos juntar as frações:
1x^2 - 1sin(x) = sin(x) - x^2x^2 cdot sin(x)

Passo 3

Agora, analisamos o comportamento do numerador e do denominador quando x se aproxima de 0 por valores positivos:
  • Numerador: sin(x) - x^2 approx x - x^2 (porque sin(x) approx x para x pequeno)
  • Denominador: x^2 cdot sin(x) approx x^2 cdot x = x^3
Portanto, quando x 0^+, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 4

Como temos uma forma indeterminada 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador: ddx (sin(x) - x^2) = cos(x) - 2x
  • Derivada do denominador: ddx (x^2 cdot sin(x)) = 2x cdot sin(x) + x^2 cdot cos(x) (usando a regra do produto)

Passo 5

Substituímos as derivadas na expressão do limite:
limx 0^+ cos(x) - 2x2x cdot sin(x) + x^2 cdot cos(x)
Agora, avaliamos o limite novamente:
  • Numerador: cos(0) - 0 = 1
  • Denominador: 0 + 0 = 0
Então, a expressão agora está na forma 1/0, o que indica que o limite tende ao infinito. Mais especificamente, como o denominador se aproxima de 0 positivo, o limite tende a +infty.

Resposta

O limite é +infty.

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