Mostrar que:
integral-pi^pi sen 5 x cos 2 x d x=0
(Sugestão: Usar as fórmulas
sen m x sen n x=12[cos (m-n) x-cos (m+n) x], sen m x cos n x=12[sen(m+n) x+sen(m-n) x] e cos m x cos n x=12[cos (m+n) x+cos (m-n) x], onde m e n são dois inteiros quaisquer.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-pi^pisen 5xcos 2x,dx
usando identidades de produto-para-soma. O conteúdo é integrar uma combinação de seno e cosseno, e vamos precisar da fórmula
sen m xcos n x=tfrac12l[sen(m+n)x+sen(m-n)xr],

Passo 2

Aplicando a identidade com m=5 e n=2, temos
sen 5xcos 2x =tfrac12l[sen(5+2)x+sen(5-2)xr] =tfrac12l[sen 7x+sen 3xr]
Logo a integral fica
integral-pi^pisen 5xcos 2x,dx =tfrac12integral-pi^pil[sen 7x+sen 3xr]dx

Passo 3

Separando a soma e usando que sen kx é função ímpar, portanto
integral-a^asen kx,dx=0,
segue que
integral-pi^pisen 7x,dx=0 e integral-pi^pisen 3x,dx=0
Assim
tfrac12integral-pi^pil[sen 7x+sen 3xr]dx =tfrac12(0+0)=0

Resposta

0

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