Mostrar que:
integral-pi^pi cos 2 x cos 3 x d x=0
(Sugestão: Usar as fórmulas
sen m x sen n x=12[cos (m-n) x-cos (m+n) x], sen m x cos n x=12[sen(m+n) x+sen(m-n) x] e cos m x cos n x=12[cos (m+n) x+cos (m-n) x], onde m e n são dois inteiros quaisquer.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-pi^pi cos 2x ,cos 3x ,dx
usando fórmulas de produto para soma. O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar da identidade
cos m x ,cos n x = tfrac12l[cosl((m+n)xr)+cosl((m-n)xr)r]

Passo 2

Aplicando a fórmula com m=2 e n=3, obtemos
cos 2x ,cos 3x = tfrac12l[cos(5x)+cos(-x)r] = tfrac12l[cos(5x)+cos(x)r],
pois cos(-x)=cos(x).

Passo 3

Substituindo na integral,
integral-pi^picos 2x,cos 3x,dx = tfrac12integral-pi^pil[cos(5x)+cos(x)r]dx = tfrac12l(integral-pi^picos(5x),dx+integral-pi^picos(x),dxr)

Passo 4

Sabendo que integralcos(kx),dx=tfrac1ksin(kx), avaliamos em -pi e pi:
integral-pi^picos(5x),dx =l[tfrac15sin(5x)r]-pi^pi =tfrac15l(sin(5pi)-sin(-5pi)r)=0,
integral-pi^picos(x),dx =l[sin(x)r]-pi^pi =sin(pi)-sin(-pi)=0
Logo cada integral é zero.

Resposta

0

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