Calcule os limites abaixo usando as regras de LHospital:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Estamos lidando com Cálculo de Limites e vamos usar a Regra de L’Hospital. Para isso, precisamos manipular a expressão para identificar uma forma que permita aplicar essa regra, que é útil quando temos indeterminações como 0/0 ou ∞/∞.
Passo 2
Primeiro, vamos juntar as duas frações em uma só para facilitar a análise:
Agora, o limite fica:
Passo 3
Vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando $ x $ se aproxima de 0:
- Numerador: $ \sin(x) - x $ tende a 0, já que $ \sin(0) = 0 $ e $ x $ também tende a 0.
- Denominador: $ x \cdot \sin(x) $ também tende a 0, pois ambos os fatores vão para 0.
Então, temos uma indeterminação do tipo 0/0, que é exatamente onde podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 4
A Regra de L’Hospital diz que se
resulta em uma indeterminação 0/0 ou ∞/∞, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas:
Passo 5
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador $ \sin(x) - x $:
-
Derivada do denominador $ x \cdot \sin(x) $:
Usamos a regra do produto:
Então, o limite fica:
Passo 6
Agora, vamos verificar novamente o que acontece com o numerador e o denominador quando $ x $ se aproxima de 0:
- Numerador: $ \cos(x) - 1 $ tende a 0, já que $ \cos(0) = 1 $.
- Denominador: $ \sin(x) + x \cdot \cos(x) $ tende a $ 0 + 0 \cdot 1 = 0 $.
Mais uma vez, temos uma indeterminação 0/0. Então, aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
Passo 7
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador $ \cos(x) - 1 $:
-
Derivada do denominador $ \sin(x) + x \cdot \cos(x) $:
O limite agora é:
Passo 8
Substituindo $ x = 0 $ na expressão:
- Numerador: $ -\sin(0) = 0 $
- Denominador: $ 2\cos(0) - 0 \cdot \sin(0) = 2 \cdot 1 - 0 = 2 $
Portanto:
Resposta
O limite é igual a $ 0 $.