Calcule os limites abaixo usando as regras de LHospital:
lim x 0^+(1x-1sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
limx 0^+ ( 1x - 1sin(x) )
Estamos lidando com Cálculo de Limites e vamos usar a Regra de L’Hospital. Para isso, precisamos manipular a expressão para identificar uma forma que permita aplicar essa regra, que é útil quando temos indeterminações como 0/0 ou ∞/∞.

Passo 2

Primeiro, vamos juntar as duas frações em uma só para facilitar a análise:
1x - 1sin(x) = sin(x) - xx cdot sin(x)
Agora, o limite fica:
limx 0^+ sin(x) - xx cdot sin(x)

Passo 3

Vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando $ x $ se aproxima de 0:
  • Numerador: $ \sin(x) - x $ tende a 0, já que $ \sin(0) = 0 $ e $ x $ também tende a 0.
  • Denominador: $ x \cdot \sin(x) $ também tende a 0, pois ambos os fatores vão para 0.
Então, temos uma indeterminação do tipo 0/0, que é exatamente onde podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

A Regra de L’Hospital diz que se limx to a f(x)g(x) resulta em uma indeterminação 0/0 ou ∞/∞, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas:
limx 0^+ sin(x) - xx cdot sin(x) = limx 0^+ (sin(x) - x)'(x cdot sin(x))'

Passo 5

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador $ \sin(x) - x $:
    sin(x) - x
  • Derivada do denominador $ x \cdot \sin(x) $:
    Usamos a regra do produto:
    cos(x) - 1
Então, o limite fica:
x cdot sin(x)

Passo 6

Agora, vamos verificar novamente o que acontece com o numerador e o denominador quando $ x $ se aproxima de 0:
  • Numerador: $ \cos(x) - 1 $ tende a 0, já que $ \cos(0) = 1 $.
  • Denominador: $ \sin(x) + x \cdot \cos(x) $ tende a $ 0 + 0 \cdot 1 = 0 $.
Mais uma vez, temos uma indeterminação 0/0. Então, aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.

Passo 7

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador $ \cos(x) - 1 $:
    cos(x) - 1
  • Derivada do denominador $ \sin(x) + x \cdot \cos(x) $:
    -sin(x)
O limite agora é:
sin(x) + x cdot cos(x)

Passo 8

Substituindo $ x = 0 $ na expressão:
  • Numerador: $ -\sin(0) = 0 $
  • Denominador: $ 2\cos(0) - 0 \cdot \sin(0) = 2 \cdot 1 - 0 = 2 $
Portanto:
x = 0

Resposta

O limite é igual a $ 0 $.

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